Theorie der Derivationen. 217 



Mit Hilfe dieser Gleichung transformirt man leicht 161) um, und erhält 



real(l— a)>0 



y = Z^ -T(1_^)T— 3 ) c, JT)-' .^T — . (l-^)P-T +C, ']^'-^ g^^' + C, 'b'-'-' 



163) 



real(l— j3)>0. J 



Die drei Particularlösungen reduciren sich wieder vermöge 160) auf blos zwei, und in Bezug auf die 

 Zusatzbedingungen ergänzen sich die beiden Systeme 161) und 163). 



So verlockend es ist, jetzt zur liypergeometrisciien Reihe F{a, ß, 7, z) überzugehen, und deren Theorie 

 mit den Derivationen zu verbinden, so soll es hier doch unterbleiben, weil es zu weit führen würde. 



Für die Ditferentialgleichungen 153) und 154) lauten jetzt die vollständigen Lösungen: 



^(')=2)'"'s"-T(l_2)T-f-'H-^ j 



■ 164) 



worin für f die Werthe aus 158), 159), 161) oder 163) zu nehmen sind, je nachdem in 153) und 154) die 

 Grössen «, /3 und 7 der einen oder der andern Bedingung genügen. 



Noch wäre zu erwähnen, dass man aus 153) oder 154) durch nochmalige Differentiation zwei homogene 

 Differentialgleichungen dritter Ordnung bilden und ihre Lösungen vollständig augeben kann; die Ausführung 

 mag aber übergangen werden. 



Um ein Beispiel für die Derivation ganzer transscendenter Functionen zu haben, betrachten wir die ein- 

 fachen Fälle 



f{z) = cos z und f{z) ■=. sin z. 



Hiefür geben die Entwicklungen 130), wenn man der Einfachheit wegen « =: annimmt, 



/)" cos z = — ~, r — UAz) = — -7 r-— \U,{z) cos z -4- U.(z) sin z] 



' n 11 11 



Jfsmz— — — ^ • — UJz) = — =7 r • — [UJz)s.\x\z— U (z) cos z]. 



,, r( — n) z" *^ ^ r( — n) z" ^ ^^ ■' *^ -' 



Die Functionen U sind durch folgende Gleichungen definirt: 



165) 



n n(l—n){2—n) m(1— »)(2— n)(8— «)(4— ») 



. . , z z^ 



*'^'^> - n{l—n)~ n{l—n){2—n){3—n)'^ " " ' 



^, , - 1 1 z^ 1 z» 



166) 



U,{z) 



n n—2 1.2 n— 4 1.2.3.4 

 l z 1 z^ 1 



■«—11 M— 3 1.2.8 n— 5 1.2.3.4.5 " ■' 



Denkschriften der laathem.-aaturw. Gl. LVII. Bd. 28 



