218 Antoti Krug ^ 



Obwohl diese Functionen U für ganze positive n unendlich und unstetig werden, so sind die Deriva- 

 tionen 165) für alle ^ und ii doch endlich und stetig, weil bei ihnen der Factor ■= auftritt, der für die 



r( — n) 

 genannten Werthe von n verschwindet. 



Die U, als Functionen von z betrachtet, haben bemerkenswerthe Eigenschaften, von denen einige hier 

 Platz finden mögen. Zunächst folgt aus 165) 



H57) U^{z) cos z+U^ (z) sin z = L\ (z) 



f/j (z) sin z — U^ (z) cos z = U^ (z), 



und hieraus ziehen wir die Gleichungen 



ü^ (z) cos z-h U^ {z) sin z z= U^ (z) 

 üj {z) sin z — U^ (z) cos z = U^iz), 



welche zusammengefasst lauten: 



Vermöge dieser letzten Gleichung ist stets 



1 69) U\{z) + U\{z) = ül(z) + lJ\{z\ 



Führt man drei Hilfsgrössen p, a, •/ ein, so kann man hiefür schreiben 



TJ^{z) =: p sin « — f-sC^^ =: p sin 7 



■ — U^{z) ■= p cos a V^{z) -zzz p cos 7. 



Dabei werden p, « und 7 natürlich gewisse Functionen von z und n sein. Macht man diese Substitu- 

 tionen in 167\ so wird a-=zz — 7 und die beiden Gleichungen 107) lassen sich ersetzen durch 



170) *^'i(^): t'il^)^ ^h^'^)'- U^{z)-=z smiz — 'j): — cos (0 — 7): — sin 7: cos 7. 

 Setzt man in 167) z =: — - — n und z =: hn , so wird 



Für sich betrachtet, sind die U nicht periodisch, doch lassen sich leicht Quotienten bilden, die perio- 

 disch sind. Solche Quotienten bildet man am leichtesten aus 170), wenn man 7 eliminirt. So ist z. B. 



U,{,z)U,(z)+U,{z).U, {z) _ U ,(z)V,{z)+U,{z).U, {z) _ V^,{z)~Ul{z) _ ^ 



U\{z)+-U\{z) - U,{z) U,{z)+U,{z).U,(,z)-l\{z) U,{z)-U,{z).U,{z)-^''^ 



U,{z) U,{z)-U,{z).l\{2)_ Ul^,)-Vl(^) _ U,{z)U^{z)+lJ,(z).ü,{z) 



U\{z) + TP,{z) U, (z) U,{z) + l\{z).U,(z) - - ü,(z) ü,{z)+ U,{z). U,{z) 



_ü,{z)-U,{^) _ lJ^^z)+lJ,{z) _ ^^^^ ^ 



cos^; 



-U^{z) + U,{z) U, (z) +V^(z)- ^2 



m^)+Ud^) _ V,{z)+V, {z) _ /^ zx 



— l\{z)+ U^{z) - V,{z)— lJ^{z) - ''' ^U ^ 2/ 



