Theorie der Derivationen. 219 



u. dergl. Aus 167) findet man auch 



[Ül{z)-Ul{z)\ cos2.~+2 U,{^ü,{z) sm2 z = Ul{z)-Ul{z) 

 [ lTi{z)— U-\{z)\ sin 2z— 2 ü^{z) U,{z) cos 2z = 2 U^{z) U^{z). 



Ersetzt man hierin z durch -=r , so hat man zwei Gleichungen, deren Bau mit denen in 167) vollständig 



annlog ist. Wir schliessen daraus, dass alle aus 167) abgeleiteten Relationen neue giltige Relationen liefern, 

 wenn m:in darin 



U,{z)- U,(z)- V,{z)- ü,(z), 



folgeweise durch 



'o 



"'Q'^^Q' '"'(iM)-' "iQ-'-'Q-- ^^-.(D^.d) 



ersetzt. Differeuzirt man die Gleichungen 167) nach z, so kommt 



U'^ (2) cos z + U{(z) sin z — U[{z) + V^ (2) . 

 V'^iz) sin z— Vl{z) cos z = U^iz)— U^ (2) , 



8 

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wobei der Kürze wegen U' für - U gesetzt wurde. Ebeuso findet man: 



U'^{z) cos z + U^(z) sin z = ü!^{z) + U^{z) 

 ü[ (z) sin z—U^ {z) cosz= U', (z) — U^ (z) . 



Wir schliessen hieraus ähnlich, dass alle aus 167) abgeleiteten Relationen bestehen bleiben, wenn man 

 darin 



folgeweise durch 



oder auch durch 



U,{z)- U,(zy, U,(z); U,{z) 



Ul(z)+U,{zy, Ui(z)-U,{z); üi(z); ^z), 



ü[{zy, uiizy, u!iz)+u,{zy ui{z)-u,{z) 



ersetzt. Alle diese Gleichungen gelten für jedes n. 



Die Functionen U genügen auch einfachen Differentialgleichungen. Um dieselben zu erhnlten, multipli- 

 ciren wir die Gleichungen 166) sämmtlich mit z-" und dift'ereuzircn einmal nach z, dann wird 



z U[ (0) — « L\ {z) +zU^{z)+l—0 

 zU',{z)-nU^{z)-zU,{z) =0 

 z U'^(z) —n ü^iz) + cosz =0 



z VI {z) —n U^(z) + sin 2 = 0. 



Setzt man die sich aus den letzten beiden Gleichungen für cos ^ und n'mz ergebenden Werthe in die 

 beiden Gleichungen 167), so erhält man daraus 



U,(z) = n [ Uliz) + UKzTi-z [ U,(z) U^ + U,(z) Ui(z)] , 



was man auch schreiben kann 



8 \ Uliz)+Ul(z) -]_ 2U,(z) 



,2«+l 



3 \ Uliz)+Ul(z) l_ 

 zl z"' \~ 



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