220 Anton Krug , 



Diese Gleichung lässt sich iutegriren, wenn mau rechter Hand für l\{z) die Reihenentwicklung aus 166) 

 nimmt; man erhält dann, indem man linker Hand noch die Relation 169) herilcksichtigt, 



n' n{l—n){2—n)n—\ «(1— «)(2— «)(3— «)(4— ?0 «— 2 '" 



Weitere Entwicklungen dieser Art mögen unterbleiben, vielmehr wollen wir jetzt die Functionalglei- 

 chungen aufstellen, denen die U als Functionen von n betrachtet, geniigen. Man gelangt zu denselben, wenn 

 man die beiden Differentialgleichungen 



'e' 



rf*cos0 _ d}s\xiz 



+ cos 3 = 0; — —T. — l-sm0=:O 



dz^ ' dz'' 



derivirt, und man erhält zunächst 



^„t^'cosz '„ , 'd^&wz ' . 



Nach 64) ist aber 



'„d^cosz '„+3 ' 1 1 'd'^smz '^^ . 1 1 



Somit lauten die derivirten Diiferentialgleichungen: 



f)"+' cos 2 + jf cos z = -~\ ■ \, ; 7)"+' sin ^ + D" sin = -J— • J- . 



Schreibt man jetzt der Deutlichkeit wegen U{z,n) für U{z), so geben diese Dififerentialgleichungen in 

 Verbindung mit 165) 



(tt+l)(w + 2) U^{z,tl + 2) + z'U^{z,n) = n+l 



j^j^ , (w+1) e« + 2) U,iz, n + 2)+z' U,{z, n) =-z 



(•w+l)(w+2) U^{z, w-t-2) + 0* ü^{z, n) =: (w+l)cos z — ^sin z 



(■«+ 1) (n + 2) U^ {z, n + 2) + z^ U^ (z. n) — (n+ 1) sin + 2 cos z. 



Quadrirt man diese vier Gleichungen, und zieht die Summe der beiden letzten von der Summe der bei- 

 den ersten ab, so erhält man unter Berücksichtigung der für alle « geltenden Formel 169) 



U^{z,n) U^(z,n + 2)+ U^{z,n)U^{z,n + 2)= U^{z,n)U^(^z,n + 2)+V,(^z,n)U,{z,7i + 2)- 

 diese Gleichung ist ein specieller Fall der folgenden allgemein giltigen Gleichung: 



U,{z,n) U,{z,n')+ U,(z,n) U,(z,n') = U,{z,n) U,{z,n')+ U,{z,n) U,{z,n'). 



Um dieFunctionalgleichungen 171) vollständig zu lösen, genügt es, die Lösung der folgenden zu kennen: 



(« + l)(« + 2)F(H + 2)+0H'(«) = ü. 

 Setzt man 



V{7i) = i^z''.W{n), 



so lautet diese Functionalgleichuug einfach : 



[n-it-V,{n + 2)W(n + 2)—W{n). 



Dividirt man dieselbe durch 



(«+i)(«+2)r(— ^i— 2) = r(— «), 



so hat man ferner: 



W{n-^2) _ W{n) 

 T(—n—2) ~r(— w)" 



