Theorie der Derivationen. 221 



Setzt man diesen Quotienten =w{n), so ist w{n) eine periodische Function mit der Periode 2, denn 



w (m + 2 ) =: M' ( n) ; daher ist 



W{n)=:w(n)T{~n), 



und schliesslich 



V{n) — w («) i" 0" 1' ( — « )• 172) 



Die periodische Function w(ii) ist im Übrigen vollständig willkürlich. Jetzt sind die Lösungen von 171) 

 beziehungsweise 



ü, (e, n) -+- V{n) ; f/, i;^, n) + V{h) ; C/3 (z, h) + V{h) ; U^ (2, «) + F(n), 



wo die U durch 166) und V durch 172) gegeben ist. 



6. 



Ein Beispiel für eine transscendente gebrochene Function ist: 



sin 3 



Dieselbe besitzt unendlich viele Unendlichkeitspunkte 0, ?:. 2-, ...— ;r, —2;;,... und ist sonst durchwegs 

 eindeutig. Ein einmaliger Umlauf im positiven Sinne um t = [kr., wu ^ eine beliebige positive oder negative 

 ganze Zahl oder auch Null ist. liefert 



1 ) ^n 1 1 r dt 



) TT ^^ = IT -^^ + 



i J-^ ein o- l -*-^ «in y 



Nun ist 



J 



sin^i -^ sine r(— «)•[ m\t{z—tY+^ 



" " " ji n 



-t 8in<(2— 0"+' "^ 2«;r-' sin« (<— /x/r) " L sin< (2— <)"+' J(,= , 



2i;r 



~^ ^)''-(3_^^)"+' 5 



somit ist 



I -'-' Gin o- l -*-' Gm '> 



Allgemein ist daher 



sin z \ ^ sin z r( — w) (z — (X7t)"+' 



1 i -«1 2i. v,,_„^iv^, 173) 



I -^ sin 3 j -^ sin s r(— «) z!j (>—M ?:)"+' ' 



wo die \ gewisse, von der Art der Umläufe abhängige Zahlen sind. 



Wegen dieses allgemeinsten Werthes kann daher von einer linearen Difl'erentialgleichung mit eindeu 

 tigen Coefticienten, der diese Derivation genügen würde, keine Rede sein, weil eine solche Differential- 

 gleichung unendlich viele linear von einander unabhängige Particularlösungen haben müsste. 



Anders ist es bei der Function 



wo f eine beliebige complexe Zahl bedeutet. Diese Function hat im Endlichen blos den Ausnahmepunkt 

 <=;0, und ist unendlich vieldeutig. Für einen einmaligen Umlauf um den Nullpunkt im positiven Sinne hat man 



e~'dt 



\D\,\-<^ '-'^Jf ^, + Y{~n)iy(z-tY^^ 



