Theorie der Derivationen. 227 



worin flu- -^i die angegebenen Ausdrücke zu setzen sind. Lässt man auch in 188) a-=zoo werden, während 

 real(«+l)>0 vorausgesetzt wird, so erhält man ebenfalls die homogene Ditferentialgleichung 185), und zu 

 dieser gehört somit auch die Partlcularlösung 



^3 = ^)"?^^ real(«+l)>0. 



Wir schliessen daraus, dass zwischen i|/, , -^i^ und -^3 eine lineare Beziehung von der Form 



±nf^OS\/z 'nCOSS/z 'nS'ms/z w ,^ ^ 



c^D 7=-+<^%D 7=-+'^3j) 7=- = real(«+l)>0 



besteht, deren Aufsuchung und Verificirung dem Leser überlassen bleiben möge. 

 Wir haben zu der Differentialgleichung 185) 



4.^-^(4.+6)^ + ^ = 



das allgemein giltige Particularintegral 



gefunden. Es sei nun /; eine ganze positive Zahl oder auch Null, so setzen wir 



, 1 

 n=-h-^, 



dann kommt: 



icosy/z _ 1 rcoss/t 4_i ,190) 



^. = i)- i ^^ = ^i— r.^ iz-if-i ät. 



Substituirt man weiter 

 so erhält man 





Setzt man nun noch 

 so wird schliesslich: 



!■(*+-;).' V' ,.(„+i)i 



dx^ dx ^ '■' 



__ rcoVi (:,2_^)A-.i ,u = ^"^^ [cos {xt) {1-t^ff^dt, ' ^^^^ 



wobei im Integrale statt t...x^t^ substituirt wurde. 



Die Ditferentialgleichung 191) ist die Bessel'sche Differentialgleichung, und ein particuläres Integral 

 derselben ist die Bessel'sche Function von der Ordnung /;; nämlich 



y = 2*v/i7j-W(a;), 



29* 



