228 Anton Krug, Theorie der Derivationen. 



so (lass für J^''\x) die bekannte Darstellung resultirt: 



JWte') = 



2.a;* r -. ,^ 0,2*—' 



(^^ = 1.3.5..('2'a-1).J '^"^ ^^^) • (1-'*)'-^ ^* ' 



und anderseits findet sich, wenn man die vorigen Substitutionen in umgekehrter Anordnung anwendet, 



192) j,.,(v'r) = ^^.i,-'-ä52iV£. 



Durch Differentiation nach z leitet man hieraus ohne Mühe die bekannte Beziehung 



dx ^ 



ab. Die rechte Seite der Gleichung 192) hat auch bei beliebigem coniplexen /( einen Sinn, und es kann 

 daher diese Gleichung zur Definition der verallgemeinerten Bessel'schen Function dienen. Für diese folgt 

 dann vermöge der III. Fuudamentaleigenschaft der Derivation: 



193) 2" X)" {z '^ JC'' (\/^)] = ^''T" J(*-") (\/^) real (Ä + 1) > 0, 







worin n ganz beliebig ist. Unter der Voraussetzung real n < lässt sich die Derivation durch das bestimmte 

 Integral darstellen; es wird dann 



_2;^ pjW(v/ö J-" .- real(Ä + l)>0 



r i-n) J (z-ff^^ dt-z2 j J (^ V ^ ) real « < 0. 



Lässt man t^ an die Stelle von t, und z^ an die Stelle von z treten, so erhält man daraus die Integral- 

 formel : 



194) h"^'J"'Ht)^^_ ri-n).z'-'' real(Ä + l)>0 

 ^ .] {z^-ty^> '' - 2-' -^ ^'> realn<0. 



