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EINIGE 



SÄTZE ÜBER DIE FUNCTIONEN Cj.x 



VON 



LEOPOLD GEGENBAUER, 



C. M. K. AKAD. 



VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 6. MÄRZ 1890. 



Ich werde in den folgenden Zeilen eine Reibe von neuen Theoremen aus der Theorie der Functionen Cl{x) 

 mittbeilen. Im ersten Capitel stelle ich verschiedene Integralausdrücke für die Functionen Clix) und DKx) auf, 

 mit deren Hilfe sodann im zweiten Abschnitte mehrere nach den Functionen Cl(x) fortschreitende Reihen als 

 bestimmte Integrale dargestellt und einige höchst merkwürdige Darstellungen des Jacobi-Legcndre'schen 

 Symbols durch vielfache bestimmte Integrale abgeleitet werden. Im dritten Capitel werden hierauf verschiedene 

 Relationen ermittelt, die sich theils auf die Functionen Cl(x), theils auf Prodncte von zwei solchen Functionen 

 beziehen, und einige Eigenschaften der Coeftieienten dieser Functionen, sowie ein Satz über das Zeichen eines 

 gewissen von ihnen abhängigen bestimmten Integrales angegeben, endlieh im vierten Capitel verschiedene 

 zahlentheoretische Functionen mit Hilfe der Functionen CJ, (x) durch vielfache Integrale ausgedrückt und aus 

 diesen Darstellungen die asymptotischen Werthe einiger der erwähnten Integrale abgeleitet. 



1. Da die Functionen C'n{x) und Dl{x) specielle hypergeometrisehe Reihen sind und daher mit Hilfe der 

 Gauss' sehen und Kummer 'sehen Umformungen in mannigfacher Weise durch solche Reihen ausgedrückt 

 werden können, so ergeben sich aus jeder, gewisse Bedingungen erfüllenden Integraldarstellung dei allgemeinen 

 oder von geeigneten speciellen hypergeometrischen Reihen ein oder mehrere Integralausdrücke für die 

 allgemeinen oder eventuell specielle Functionen Cl{x) und I)l{x). 



So liefern z. B. die von mir aufgestellten allgemeinen Formeln 



Je x^r{a,_x) = ^,/^^^^,+U, F[^^^—,^+l,!J.+ l, --^J (|i?(«)|>|JK)|) 



') „über einige liestimmte Integrale". Sitzungsberichte der kiiis. Al^aderaie der Wissenschaften, mathem.-natiirw. Classe, 

 72. Band, II. Abtheilung. 



Denkschriften der mathem.*naturw. Gl. LVII. Bd. - . 



