428 Leopold Gegenbauer , 



wo weder a — 13 noch 7 — 1 eine negative ganze Zahl ist, « und 7 — a — /3 + 1 grösser als und j3<:l sein muss. 

 Von der letzten beschränkenden Bedingung kann man sich übrigens durch ein bekanntes Verfahren leicht 

 freimachen, so dass man auf diesem Wege rasch zur erwähuten Integraldarstellung der hypergeometrischen 

 Reihe gelangt. 



Durch die Verbindung der Gleichungen 1) und 6) und der bekannten Definitionsgleichung der Functionen 

 Clix) 



"^W r»i_, n(..+f.-[^]+v-i)(2xr-^[IH^ 



c:{x)= 2 (-1) 



n(f|-]-f^)n(— 2[|-]+2,.)n(v_i) 



-i ) n([|-])n(v_i) ^ ^^J' L^J' ^UJ-2'^ 



mit 4) ergeben sich für die Functionen Clix) und Dniß) folgende Integralausdrücke 



2^-' n(v— 1 ) 



C.Vi(a')= 9viny 1) I i/'-'-^^"^'+'(2/)sina;yrf^ (|x]<l,v<|-) 



II(„ + 2v-l)n(-^-v)v/;r^^ 3 



Dl {x) = -—^ / >/■'-' J«+^ (y ) cos xj/ dij [\x\ > 1, V < ^J 



2«+'+'n(|+v-i) Jo V 2/ 



n(w+2v-l)n(-|--v)v/;. .^ / 3^ 



-D«(a;) = ■ — 7[ : / >f^'J''+\y) sinxydy {\x\>i, v< —). 



2"+'+' 



-C 



2 



Auf demselben Wege ergeben sich aus den Gleichungen 2) und 3) die Relationen 



^-^) = "^"t2'~,n/"^~i^i7 — I i/-'-' J-"-' {yy-^'mdy (1 >v; t+C-' = 2x; |t>l) 



22'-'[ri(v— 1)] 



Jo 



/*oo 



D;;(a;) = ri(«+2v-l)n(-«-2v)t" J"+'(y)J-"-' [^y),/—' dy (l>v;f+c-' = 2x; 141>1) 



X>:(aA = n(v-i)n(-v)e' j r'-' J"+'(y)J"+HCy)rf2/ (i>v; 4+^-' = 2x; |4|>i). 



Um eine neue Darstellung der Functionen Cl{x) durch eine hypergeometrische Reihe und daraus einen 

 neuen Integralausdruck derselben Kategorie für dieselbe abzuleiten, trausformirt mau die lineare Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung 



(1— .X-*) y"—{2y + 1) xi/+n {n + 2v) yz=0 



deren vollständiges Integral bekanntlich 



y =^ a d ix) + b Dn ix) 



