Function C:(x). 433 



13) C:.(cosa;) = J2(2r+2v— 1). 



2-'rv/^n(v-2)cos = '-*4- 



. j (cos X — cos ^)' -- Cip' ('cos -|-") sin y cos -^ c?ij) — (2r+4v — 3) | (cos a;— cos y)'-- C\'Z\ (cos-|-") sin ^(/y (. 



Berücksielitigt man, dass in Jedem dieser Gleiclningspanve die zweiten Integrale auf der rechten Seite bis 

 auf das Zeichen (—1)'—' gleich sind, so erhält man durch Addition der zwei Gleichungen jedes Paares die 

 vier neuen Formeln 



Il(^)(2'-+2v_l) p ,,,,,, 1 



C;(cosa;)= 7= \-^ — (cos ^ — cosa;)'-' Cj; cos-^ cos^dyH -• 



'^ 2"+V-lI(^-l) (sin--'^J« l 2; J ^^^,,_,^ 



2 ^ 



■ I (cos a;— cos y)'-' C^"' (cos-|-^ sin -|- rfy 



n(^^)(2»-+2v-l) , r. ^ j 

 C','.(cosa;i = 7= )— '^ — | (cos y — cos a;)'-' Csr-i fsin -^\ sin yr/y H -. 



2'+',V.n(v-i) U--i|-Jo ^ 2; cos--'^ 



.1 (cosa; — cosy)''-' Cs'—i (^cos_?_j sinydy( 



n(^)(2r+2v-l) p ,_, 9 1 

 C;(cos X) — j^ 1— ^^ — I (eo8 f — cos a;)'"* GX+\ fsin -|-) sin yrfy H -. 



2 ^ 



• l (cosa; — cos y)'-^Cv+i /^cos-L^ sin'^dy 



nf^^)(2'-+2v-i). , .., /-. . 



v 2 / ( ( - — 1 / 2v— 1 / . 9 \ . -97 ••■ 

 rr — )-^ - ( (cos 9 — cosa;)''-^C2^ f sin-i- sin© sm -^-rty H . 



2',V.n(v-2^ lsin--'^> ^ ^^ ^ cos--'. 



2 2 



Cr (cosa;) 



■ j (cosa; — cos yj^-^Cz,"* /'cos _L"j sin y cos _L rfy 



Bedenkt man, dass 



[^C„^(cosx)]^^=|cos«x 



ist, so erhält man aus diesen Gleichungen die bekannten von Dirichlet im 17. Bande des Crelle'schen Journales 

 angegebenen Integrale flir die Kugelfunctionen erster Ai-t 



n 



coP ry cos -^ df r- cos r<ä sin -^ dx 



Pr(cosa;) = I . + 



Jo \/2{cos(j> — cosa;) J_,- v 2 (cosa;— cos y) 



9 • 9 7 



(s sin ;y sm -i- d^ /*- sin iy cos -^ ay 



, ■+- ,— 



V 2 (cos ^— cosa;) J,: V 2 (cos x— cos 9») 



Denkachntttiu der mathem. u.iturw. CI. LVII. Hd. 65 



