434 Leopold Gegenbauer ^ 



Der in den vorstehenden Zeilen zur Ableitung dieser Formeln benützte directe Weg ist zweifellos auch 

 der einfachste von allen, welche zu diesen Relationen führen. 



Ein ferneres Integral für die Functionen Cl{x) ergibt sich in folgender Weise. Multiplicirt man den Zähler 

 und Nenner des ^.tfn Gliedes der auf der rechten Seite der Gleichung 



t^nW- 2, ^ ^^ n(X)ii(«-2/)Ji(v-i 



stehenden Summe mit 11 f — -—\ und berücksichtigt, dass 



2^^n(X)n(^) = V''rn(2X) 



2 

 ist, so erhält man die Kelation 



Kt] n(«+v-p,-i,n(2^) 

 "^^"v/'^nrv-i) ^^ ■' ii(«-2/)n(2X) 



Nun ist bekanntlich 



/2X— 1 



„(,, + ,_X-l)Ii(^) 



a 



211 



(« + v--) 



:=/ cos2"+2^-2''-'y sin^'-yt^y 



nnd daher verwandelt sich diese Relation in 



Die auf der rechten Seite dieser Gleichung stehende Summe ist aber der reelle Bestandtheil von 

 „ , , (x cos v+i sin m)" und daher hat man die Relationen 



n («} ' ' 



2"Il(w+v- y) />T 



14) Cl{x) ^z ~ I cos"+^^-'5J {(a;cosj) + /sinj>)" + (a;cosj)— «siny)"} rfj) 



n(M)n(v— l)\/;r Jo 



2"n(M+v-— ) ^f 



sin"+^''" ' y {(a;siny + /cosy)" + (a;sin5> — /cosy)"j c/y. 



n(w)n(_v— i)\/nr, 



2. Die Vereinigung der in dem vorigen Capitel abgeleiteten Ausdrücke für die Functionen Cl{x) mit 

 Relationen, welche ich in einer früheren Mittheilung') aufgestellt habe, liefert folgende interessante Gleichungen 



r . . . "^ 



1 { o{\<i. 'y^-i—4 Qin ■7>/»no M^" — ^ ein m thn — 9 > 



(cosa;-l-^siüa;co8y)""^siny(/y =:2 y Cj(cosx) C*(cosx) . .. CJ{fio^x) 



1) „Über die Functionen C^^{xY , vSitzungsberichte der kais. Akad. d. Wissensch. 97. Band, Abth. IIa, S. 259— ii70. 



