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nj, »3, . . ., n^ = n 



2", 



z 



n,, 7!j,. ..,n. 



Leopold Gegenbauer, 



-iir + 2 V, — 2) C"' (a;) C"' (a;) Ö' (x)... C"' (x) 



(v, + Vj,+ . . . +Vr = V, « — «j — . . . — Hr >, 1 bez. 0) 



ergibt, aus der sich für r = 2 die specielle Beziehung 



X = ?!— I 



« + 2v— 2 



t^ ^"~' ^-"^ = 2v-2v -2 Z ("-^> + 2v-2v -2) Gl' (x) an'-' (, 



^) 



ergibt, welche ich schon früher mitgetheilt habe. 



Ist iu der Gleichung 23) r z= s, v^ = .a^ und wird sodann für n der Reihe nach », n—l,n~2,. . ., 3, 2, 1 

 geschrieben, die \te von den so entstehenden Gleichungen mit x'- niultiplicirt und die Summe derselben 

 gebildet, so entsteht die Relation 



24) 



2 < (^) ^l (-^^ • • • < (^) = 2^ ^C«-X + 2v-2) x^- ClZi {x) 



t!.,...,n X=0 



Mi, M., . . ., W.. 



(w, +«2+ • • • +nr = w; V, +V2+ . . . +V^ = v). 



Setzt man nun in dieser Gleichung speciell 



r — 2 V — V 



niultiplicirt mit (1 — x^) - dx, integrirt von .r = — 1 bis a; = +1 und beachtet, dass für ein ungerades n 

 sämmtliche auf der linken >Seite der so entstehenden Gleichung befindlichen Integrale gleich sind, während 

 für ein gerades h nur das mittlere einen von verschiedenen Werfh besitzt, so erhält man die Relationen 



X=2m 



y (2w— Ä + 4v— 2) I x^{\—x') ' Ci:-l{x)dx 



._, ,^, ^,^ _ 2^-(2v-r)n(».+2v- r 

 (w+v) n(w) 



il (2v— IV 



25) 



X=2n + I 



y (2w— X + 4v— 1) / x^l— ^') ' Cfo:zl+i (x) dx r=z 



x=o 



durch deren Vereinigung mit 24) die bemerkenswerthen Formeln 



"+< 



y I C;;_ (x) C'l {x).. . C^ (x) {l—x"^) '' dx = {u, + «2 + . . . + «,. = 2 /« + 1 ; V, + vj + . . . + V, = v) 



2 



«,,«2, ..., Jt, ' 



entstehen. 



'+< 



c;(x)ci{x)...c';(x)i\-x^)^ dx: 



y+» 



2''"^'(V— 1)I1(« + V— 1) 



■■n(^)- 



(2w+v)n(n) Ln(v— i)J 



(«,+«g+ . . . +nr ^= 2w; V, +Vj+ . . . H-Vr =^ v) 



Aus der ersten von den Gleichungen 25) ergibt sich für die Coefficienten Aj^l der Functionen 



