die Relation 



Function C\{x). 473 



).=2. i'=" + [-f] II {ii—^—1-^ 2-"-^' (2v— 1) 11 («H-2V— 1) n (^^^) 



^ "" ^ ' -/+4v-2)^l;r,:' = 



)_ 2^ n(/?— ^+v) ^-"" 



(w+v)n(«)[n(2v— 1)]« 



Multiplicirt man die von mir abgeleitete Formel 



\=n 





*— " 



n(v— i)]ni(X)n(w— Ä) 



mit cos (?< — 2(j.) X' r/a; und iutegrirt von x = bi« x := -, so erhält man die Relation 



2 rV,v, , / O N 7 Il(v + pL— l)ll(v-a+« — 1) 



— ( C„ (cosx) cos (/(, — 2 u) ic f/a- = ,„ , — , ,/, „ , ,, ^ 



aus vrelcher sich bei ungeradem ii unter Berücksichtigung der bekannten Formel 



''~^ / „.^ 1 sin(^/ + l)(x + j/) sin(M+l)(3;— i/\ 



>^ cos(._2A)a;cos(«-2/,)// = ^ , sin(x + ^) ^ "^ sin (^-^) ( 



x=o 



für die Functionen C^ (cos x) folgender Integralausdruck ergibt 



,.v, . 1 r^' ,-,, . ,»m(n-hl){x + y) sia(n+l) (x—y)^ 



Cn (cos x) = — l C„ (COS (/) \ ^h —-, — — H ^. , , — —\ du . 



^ ' 271 ] •'n sin(x+^) sinfa;— y) ) ^ 



Herr E. Heine hat in seinem Haudbuche der Kugelfunctionen * mit Hilfe der in einem von Euler am 

 4. December 1751 an Goldbach geschriebenen Briefe enthaltenen Bemerkung, dass in der Entwicklung von 

 V 1 — an'^ nach aufsteigenden Potenzen von « alle Coefficienten ganze Zahlen sind, gezeigt, dass das Product 

 c" Cl {x) nur ganze Coefficienten besitzt, wenn v eine rationale Zahl mit dem Nenner c ist. Dieser Satz lässt 

 sich durch einen anderen etwas weiter gehenden ersetzen. Setzt man in der oben benutzten Definitionsgleichung 



der Function C^ {x) [l ■= — , so nimmt sie die folgende Form an: 



" ^•^' - 2^ (-^ ) c-^n(X)n(«-2X) ^-""^ • 



x = o 



Nun ist aber bekanntlich* 



m{m + n^){m + 2il^). . .(m + {i — 1)«,)«,'"' 



eine ganze Zahl und daher ist der Coeflficient von x"--' in der auf der rechten Seite dieser Gleichung stehenden 

 Summe das Product aus einer ganzen Zahl und dem Ausdrucke 



(«— 2X+1) (h— 2X+2). . .(«— / + 1) 2"-^'- 



U(k)c 



,2(n— >.)— l 



1 1. Band, S. 14. 



2 Dieser Satz ist meines Wissens zuerst von Herrn Charles Hermite in der dritten Ausgabe seines Cours d'anal}"se 

 S. 175 aus dem Eisenstein'schen Satze über die Coefficienten von Reihen, welche algebraischen Differentialgleichungen 

 genügen, hergeleitet worden. Der Herraite'sche Satz ist übrigens ein ganz specieller Fall eines allgemeinen arithmetischen 

 Theorems, welches ich vor einer Reihe von .Jahren meinen Hörern in der von mir geleiteten Abtheihmg des mathematischen 

 Seminarsander Innsbrucker Universität mitgetheilt habe und von welchem demnächst Herr J. A. Gm einer in den Monats- 

 heften der Mathematik und Physik einen Beweis veroflentlichen wird. 



Denkschriften der matbem.-natui'w. Gl. LVll. Bd. (50 



