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Leopold Gegenhauer, 



Ist biix) eine vou c( ^j verschiedene differentiirbare Function, welche nebst ihrer stetigen ersten 



Ableitung im reellen Intervalle x„ . . . x^ endlich bleibt; so ist für ein ausserhalb des Intervalles — 1 ... +1 

 liegendes Werthepaar x^, a-, 



Kl— ^')(^-^) -n{n + 2v)^\x)\ {\—x^)^dx < 



wenn w(a;) der Bedingung 



2m+I 





genügt, erfüllt aber oj (x) die Relation 



t 



_2\ 2 /T'+' 



2v(l— x') ^ C:.i;(a:)o.^(x) 

 C!, (x) 



>0 



so besteht für jedes dem Intervalle — 1 ... +1 angehörigen Werthepaare a-,,,;»,, innerhalb dessen sich keine 

 Wurzel der Gleichung C^ (x) = 0, befindet, die Gleichung 



i(.-«")(^ 



-N{n + 2i')'M^{x)\(l—x'') = dx>0. 



4) Ist S (x) die Anzahl der verschiedenen Primtheiler vou x, 

 (x) =: ( — l)""*^', wenn x eine durch kein Quadrat (ausser 1) theilbare ganze Zahl ist, und gleich in allen 



anderen Fällen, 

 fk{x) die Anzahl der Systeme von Ä: ganzen Zahlen des Intervalles 1. . .x. welche ein zu x theilerfremdes 



Zahlensystem bilden, 



wenn (, 



-ij* r 



— — ^0 ist, und die ganze Function T'^ipn) durch die Gleichung- 



r:w 





n(X)n(/j— X)n(m+«— >) 



definirt wird, sind aber x^, und jj positiv und liegt zwischen ihnen keine Wurzel der Gleichung r™(x) = 0, so ist 



/ ' I /ddt (x)\ 2 ) _ 



I r[~d — ) — »t^^W>e x" dx>0 (m > — 1 ;« ganzzahlig, nicht negativ) 



falls 



[ k1^) 





ist. 



