498 Leopold Gegenhauer , 



das Glied f — j /"(«/) offenbar den Factor 



2:^.(»)=^.(L"] 



j= i 



und man hat daher die Gleichung 



2) 2^w= V M[^])(7)''''- 



Aus dieser Formel folgt eine Reihe von interessanten Theoremen, von denen nun mehrere aufgestellt 

 werden sollen. 



a) Es sei zunächst 



dann sind 



hWr)\--\ 



f[^)=(^)lf[^y^)FM 



und es iist -f ', f — f) gleich der Anzahl derjenigen ganzen Zahlen des Intervalles 1 . . . — , welche zu m 

 theilerfremd sind. Nun ist aber bekanntlich die Anzahl dieser Zahlen gleich der über alle Theiler (/ der ganzen 



Zahl m ausgedehnten Summe 



d ^ ^ d d 



und demnach ist 



■f(rV.(.)=„fqc-i)"v(^yf.., 



wo 



gesetzt wurde. Die auf der rechten Seite der letzten Gleichung stehende Summe 



d 



ist offenbar dem absoluten Betrage nach kleiner, als die Anzahl ■^^(w) derjenigen Theiler der ganzen Zahl m, 

 welche durch kein Quadrat (ausser 1) theilbar sind. 

 Setzt man in der Gleichung 3) speciell 



f{x) = i,.(x), 



