Zahlentheoretische Sätze. 



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so wird 



F-i{x) — l>.r{x) 





v = l 



y/ r 





wo das Siwi p bezügliche Product im Zähler über alle Primzahlen zu erstrecken ist, und dalier hat man die 



Formel 



1 



2- = TZ 



/ . V X 



X= 1 





1 1— 



PI 



'=[^7"] 



^= = -!«Fl('-^)2 (7)^-2-«Z (?)^(" 





Z^ 

 rf 



Nun ist 



y = OO 



2 (7) 



y) r 



< 



Z 



1 ^C(r) 



[;/«]+' 



2/^ 





und demnach wird 



\-\ /m\ , , '' n P'- . A '■ 



wo ,4, eine für alle Werthe von n endliche Zahl bezeichnet. 



Den speciellen Fall r = 2 dieser Formel hat Herr Alexander Berger in seiner interessanten Abhand- 

 lung „Om rötternas antal tili kongriienser af andra graden" ' gefunden. 



Aus dieser Formel ergeben sich die Theoreme: 



Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige ganze Zahl zu den Primzahlen j),, p^, ■•■,p<j theilerfremd 



und dur 



-i 



1 p 



ich keine ;-te Potenz (ausser 1) theilbav ist, beträgt im Mittel — r x[ p 



I 1 — ^— r 

 PI 

 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige ganze Zahl weder durch eine der Primzahlen ^_),, j)^, . . ., p, 



1-- 



. „■ , 2r(2r+l") t\ Px 

 noch durch eine (2»-)te Potenz (ausser 1) theilbar ist, beträgt im Mittel ^s^^TTT^ ' f 



/ ' ' ^~W 



1 Öfversigt af Koiigl. Vetenskaps-Akademiens Förhaiulliiiaai-. 44. Ärgängeu. Ar 1887. Stockholm. S. 127—151. 



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