Zahlentheoretische Sätze. 501 



Diese Gleichung liefert die Theoreme: 



Die Wabrscheinlicbkeit, dass eine beliebige ganze Zabl zu den Pritnzablcn p^, ^j^, • • ., p, tbeilerfVemd 

 ist und dass bei ihrer Darstellung als ein Product von Prinizahipotenzen nur Exponenten auftreten, welche 



nach dem Modul ri, einer ganzen Zahl unterhalb r congruent sind, beträgt im Mittellxl£i T7| ^ ^_- . 



~pi. 



Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige ganze Zahl durch keine der Primzahlen p„ j}^, ■ ■ ■, p<i 

 theilbar ist, und dass bei ihrer Darstellung als ein Product von Primzahlpotenzen nur Exponenten auf- 

 treten, welche nach dem Modul 2rp einer ganzen Zahl unterhalb /• congruent sind, beträgt im Mittel 



. ('l-iVl IA 



{2 ny'-<'Br, |7f V Pj^ Px') 



2r(2rp+l)C(r)IJ ^_\_ 



f, 

 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige ganze Zahl durch keine der Primzahlen /;,, p^. ..., p, 

 theilbar ist, und dass bei ihrer Darstellung als ein Product von Primzahlpotenzen nur Exponenten auf- 

 treten, welche nach dem Modul 2rp einer ganzen Zahl unterhalb 2r congruent sind, beträ,i;t im Mittel 



/i-iVi-J-' 

 (2;r)^-(P-')r(2r+l)£.p AI pj\ pl'^) 



\\2rp + \)Br l'l i 



I 1 — 



r: 



Die Anzahl der zu einer Primzahl ^j theilerfremden ganzen Zahlen, bei deren Darstellung als ein Product 

 von Primzahlpotenzen nur Exponenten auftreten, welche nach dem Modul /-p einer Zahl unterhalb /• congru- 

 ent sind, verhält sich zur Anzahl der übrigen ganzen Zahlen derselben Beschaifenheit wie^'"!'+' — p""? — p+\ 



zu p'-P+jj^p'-Cp-O+i — 1. 



Unter den ganzen Zahlen von 1. . .«, bei deren Darstellung als ein Product von Primzahlpotenzen nur 

 Exponenten auftreten, welche nacii dem Modul 4 einer Zahl unterhalb 2 congruent sind, gibt es im Mittel 



^ n ungerade und j- n gerade Zahlen. 



Unter den ganzen Zahlen des Intervalles \. . .n, bei deren Darstellung als ein Product von Primzahl- 

 potenzen nur Exponenten auftreten, welche nach dem Modul 6 einer der Zahlen 1 oder congruent sind, 



21 ;r* j o 11 'T* 



5Ö4Ö " ""^•''■"'^•^ '^"'^ 5Ö40 

 Unter den ganzen Zahlen des Intervalles l...w, bei deren Darstellung als ein Product von Primzahl- 

 potenzen nur Exponenten auftreten, welche nach dem Modul 8 einer der Zahlen 1 oder congruent sind, 



gibt es im Mittel n ungerade und n gerade. 



4UoJU 2UlbUÜ 



Unter den ganzen Zahlen des Intervalles 1 . . . « , bei deren Darstellung als ein Product von Primzahl- 



841 7r®M 

 potenzen nur Exponenten von der Form 12s oder 12s-t-l auftreten, gibt es im Mittel ungerade und 



798336Ö ^^'^'^^- 



Unter den ganzen Zahlen des Intervalles 1. . .n, bei deren Darstellung als ein Product von Primzahl- 

 potenzen nur Exponenten von der Form 24s oder 24s+l auftreten, gibt es im Mittel ,„,„„ ' ,,.„^ ungerade 



' ° 43o89 145600 



, 465043 ;t'»« 



""•^ 217945728000 S^™*^'- 



gibt es im Mittel ^^^^ n ungerade und ^-^77; n gerade. 



