514 Leopold Gegenbauer, 



ist, so erhält man die Formel 



o _ . V 36 w 



> fm (x) = -^ Ag n^ + A^n {\ognf + Aj^nhgti -h A^^ u 



wo ylg, ^g, Ay^j, ^jj für alle Werthe von w endlich bleiben. 

 Aus dieser Gleichung folgt das Theorem: 

 Ist: 



lim^,„=oo— =0 



n 



,. V — 



limr,,n=oo ^ 



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 so gibt es für jede ganze Zahl des Intervalles n — -n . . . n + r, im Mittel n zu ihr und zu den 



Primzahlen ^jj^^j, ■ ■ ., p^ theilerfremde, sie nicht übertreffende ganze Zahlen. 

 Die Gleichung 8) lässt sich auch noch in folgender Weise ableiten. 

 Die Function fm{n) geutigt, wie man sofort sieht, der Relation 



5 



welche eine Verallgemeinerung der bekannten Gaussischen Gleichung für die Anzahl derjenigen n nicht über- 

 treffenden Zahlen ist, welche zu dieser Zahl theilerfremd sind. Aus dieser Relation folgt 



X ^ u — J ' ^/ ^"' ^^'^ ~ / ? ^^^> ^^ ~ * ^"' '"^" 



1=1 x=i 



2 



Schreibt man in dieser Formel für n: \ — 1, multiplicirt sodann mit (' 'j jnfy) und summirt bezüglich i/ von 

 1 bis n, so erhält man 



*• 



=1 



Nun ist 



und 



.«=1 d \ '/=! / 



= l'(|)fV(T)''W] 



J/^1 ,V.2^1 



