Zdhlentheoretische Sätze. 523 



(gleichen oder verscliiedenen) ganzen Zahlen des betretfenden Gebietes bezieht. Diese erweiterte Formel, 

 welche selbstverständlich für r—l in die eben erwähnte specielle Relation übergeht, will ich nun ableiten und 

 aus ihr sodann mehrere specielle Fälle nebst einigen aus ihnen sich ergebenden Theoremen und asymptotischen 

 Gesetzen erschliessen. 

 Es ist 



wo die Marke am Summenzeichen anzeigt, dass jedem Werthsysteme z^,^^,. . .,Sr nur jene Zahlen x des f'om- 

 plexcs ((/ir) zuzuordnen sind, für welche 



ist. Nach dieser Bestimmung gehören offenbar zu einem bestimmten Werthsysteme ^dZ^,- . .,•3', alle und nur 

 jene Werthe von x, deren pte Potenzen Divisoren des grössten gemeinsamen Theilers [z^,z^,. . .,Zr] desselben 

 sind, und demnach ist 



wo die Summation bezüglich d„ über alle jene Theiler der ganzen complexen Zahl [2,,^,,. . .,z,] zu erstrecken 

 ist, deren complementärer Divisor eine pte Potenz ist. 



Existirt nun eine Function / (x) von der Beschaffenheit, dass die über alle der Gleichung 



N (x'f) —N(n) {'^°) 

 genügenden ganzzahligen Werthepaare x, y ausgedehnte Summe 



den Werth f{n) oder hat, je nachdem n eine rM Potenz ist oder nicht, so ist, wie ich a. a. 0. bewiesen habe, 



y f I J [Z„Z^.... ,Z,]\ _ i X iSlA^V^2^ ••■' ^r])) 



je nachdem sämmtliche Exponenten der die ganze Zahl [^,, j^,. . .,2r] zusammensetzenden Prirazahlpoteuzen 

 nach dem Modul r einer ganzen Zahl unterhalb rj congruent sind oder niciit, und daher verwandelt sich die 

 letzte Relation in 



1) Z '^"iNh))f^-'^= Z yj9A^vh,---'^r]r) 



bez. für das reelle Gebiet 



»l.Sf. '-=>> 



-[(/ir] 

 2) 2 [:^]Vw= Z' 5C(^Ak,^.,---,^-])) 



•i.'j =, = ' 



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