Zahlentheoretische Sätze. b21 



Die siebente der aufgestellten Gleichungen lässt sich in folgender Form schreiben 



WO 



und demnach 



\A"\<Aii'-*+B>i^f 

 ist. Ist ;•£/ rz: 2s-f-l uud A<0, so wird diese Gleichung n;ich früher erwähnten Sätzen von Berger 



ist aber rp = 2s + 2 und Ar>0, so hat man 



n(2s + 2)|\/A| Z^ U/^VA' 



" " y' y (A,,,([..,.^,,... ,.,])) =(^^';^^-^ y (f jy(_^,2.+2j+A". 



4 = 1 



Die auf den rechten Seiten der Gleichungen 1) bis 4) stehenden Summen lassen sich leicht durch 

 folgende Betrachtungen in andere umformen. Da offenbar 



\z^,z^,. . .,z,.] — [[^1,-2,. . . , zi^i], zi, z,,^t. 



ist, so muss [zi,z^,. . .Zr] unter den Theilern d von [z^,z^, . . ., ^),_i] enthalten sein und zwar hat derselbe genau 



den Werth d, wenn zi,zi^,,. . .,z^ Vielfache von d und so beschaffen sind, dass — , -'y',- . ., -^ ein zu {z^,z^, 



. . ..2x-i] theilerfremdes System von r — X + 1 ganzen Zahlen bilden. Bezeichnet man nun die Anzahl von je k 

 der Systeme Zahlen des Complexes («), welche ein zua; theilerfremdes Werthsystem bilden, mit y, (.r, «), so ist 



V F{[z,,z,,...,zr])= y (]]Fid)<p.^,^,{ ^'-'--y'"'-'\ n)] 



und speciell 



wo die Summationen bezüglich d über alle Theiler von [^,, i^, . . ., cx-i] bez. z^ auszudehnen sind. 

 Die letzte Gleichung lässt sich offenbar auch in folgender Weise schreiben: 



z_ 



^(t) 



y F{z,^i y y.^.a,«) 



