528 Leopold Gegenhauer, 



Die zahlentheoretische Function fic{x,n) besitzt eine Reibe von bemeikensweithen Eigenscbaften, die 

 ich bei einer nächsten Gelegenheit mifzutheilen gedenke. 



3) a) Herr A. Schönflies hat in seiner interessanten Abhandlung „Über eine specielle Classe von Con- 

 figurationen auf den elliptischen Normalcurven wter Ordnung" ') durch geometrische Betraciituugen folgenden 

 zahlentheoretischen Satz erschlossen: 



Es seien durch die Gleichung 



«^ r= «>■ — ti'—' -)- H'~'' — ...+( — !)'■ 



für Ä = 0, 1, 2, 3, . . ., 5' die ganzen Zahlen 



1, «,, lU, «3. .... //, 



definirt. Ist dann «r_, die kleinste unter diesen Zahlen, welche mit »^ einen gemeinsamen Theiler hat so ist 

 r ein Theiler von q+ 1 und es besteht für jeden Index / die Relation 



m Hi ^ m «r_i_,- (vaoA. n,j). 



Dieser Satz soll nun arithmetisch bewiesen und auch etwas vervollständigt werden. 

 Aus der Definition der ganzen Zahlen nx folgen die zwei Relationen 



1) Hl = n >h_t + i—lf 



2) «X = % «x-i + n %_, wx_i_i 

 deren Vereinigung die Beziehung 



3\ «x = (,— 1)'' «x-4- + n %_! (Mx-i + wx_4— i) 



= (—!)'■■ «x-i + «>•-*+* «i_i 



liefert. Nach 2) ist nicht nur jeder gemeinsame Theiler von «>,-* und w^., auch Theiler von n^, sondern auch 

 da nach 1^ wj. und %_! theilerfremd sind, jeder gemeinsame Theiler von % und n^^t auch Theiler von «x-*-i 

 und demnach besteht die Gleichung 



aus welcher unmittelbar die allgemeinere 



folgt, so dass also, falls 



/ ^ 7 Ä- + — 1 {1 ^ p ^k) 



ist, auch die Beziehung 



*) [«X, «*- 1 J = [Wp _ 1 , Wi- 1 ] 



besteht. 



Diese Gleichung zeigt zunächst, dass jedesmal, wenn k ein Theiler von X + 1 ist, wx durch Wi_i theilbar ist. 



Es sei nun k nicht unter den Theilern von X+ 1 enthalten, so dass also p<:k ist. Ist pz=k — 1, so ist 

 nach 4) % und ;u-i theilerfremd, ist aber p <k — 1, so hat man nach 2) 



und demnach liefert das eben angewendete Verfahren die Relation 



[Mi_i, Hp_,] = [?>p,_i,Wp_,j 



wenn 



k =: r, p + p, (1 ^ p, < p') 



1) Mathematische Annaleu von F. Klein, 35. Band. .S. .')26 — 540. 



