Zahlentheoretiache Sätze. 529 



ist. In der letzten Gleichung kann offenbar p^ nicht gleich p werden, weil sonst p ein Theiler von A+ 1 wäre, 

 was ja jetzt ansgeschlossen ist. Da man nun, wenn p, > 1 ist, dieselbe Schlussweise wiederholen kann, so 

 gelangt man schliesslich zu der Gleichung 



Man kann demnach unter Benützung von 3) das Seh önflies'sche Theorem in folgen der Weise aussprechen: 

 „Jede von den durch die Gleichung 



«), = oi^ — M>— ' + tP-^ — ... + (— 1)^ 



definirten ganzen Zahlen, welche mit einer vorhergehenden einen Theiler gemeinsam hat, ist durch dieselbe 

 theilbar, es ist ferner der um eine Einheit vermehrte Index (k — 1) der ersteren ein Theiler des um eine Einheit 

 vermehrten Index q der zweiton und es bestehen für jeden Werth von l die Congruenzen 



wx+i = (— !)''■ >h (mod. m^., ) 

 r wx+i ^ r »X (mod. «,)." 



Die kleinste der Zahlen «x, welche mit «j einen gemeinsamen Theiler hat, hat demnach zum Index den 

 um eine Einheit verminderten kleinsten Primfactor von q +1. 



ß) Sind [f% &i, Ci] {k — 1,2, ...,K{^)) die Repräsentanten der verschiedenen Classen quadratischer 

 Formen der negativen Fundamentaldiscriminante A, so wird in der Summe auf der rechten Seite der Gleichung 



i = A'(A) ^^oo ^^oo i = A-(A) ).,,x=+oo 



y / / /■(«* x^ + h,i X ij + Ci y^) d X d y — lime=o V £ V /\£ («/, l^ + b^'A jx + c,, fx*)) 



das Glied f(j ii) so oft auftreten, als es Darstellungen der Zahl « durch das System der quadratischen Formen 

 der Discriminante A gibt. Da nun diese Anzahl bekanntlich gleich 



d 



ist, so hat man 



y I I /' (% x^ + bt xy + Ci //^) dxd y — r lim,=o V (—\ \ f{yt n) 



4=1 J—co J-oo „_1 y — i 



n=l > 



oder endlich 



y I ( /■ (/'/. .'■' + ''/.• ■'■■ 1/ -+- cic y^) d xdy= f^7==-f 1 / (y) '^ y- 



Von den specielleu Fällen dieser Relation mögen die folgenden erwähnt werden: 



2n 



'+00 r +00 ip /'oo 



-OO ^ — CO 



'oo /•+(» 



-OO J—oo 

 ^-HOO /'-l-OO 



-OO J—ca 

 '-I-00 r-\-oa 



\f(,c^ + xy + iy'') + fißx' + -6xy + 2y^)\ dxdy = -^ l f\y) dy 



A. f'°° 



1 /'U-' + 3y') + /■( 2a;^ + ^x y + 2y*)| dxdy- —^ 1 /'(i/) rf i/ 



I e-a=(x=+x.,+3y=)= (•_^2 + X' (/ + 3 (/■■')^+' J" («, (.c" + ;f y + 3//*)) dx dy = ^"'"'^_ e~& 



-ooj_oo (2a^)Vll 



Denksckriiteu der matbem.-naturw. VA. LVU. i3d. (J7 



