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EINIGE 



SÄTZE ÜBER DETERMINANTEN HÖHEREN RANGES 



VON 



LEOPOLD GEGENBAUER, 



C. M. K. AKAD. 



VORGELEGT IN DER SITZUNG AM 17. JULI 1890. 



Ich werde im ersten Abschnitte der vorliegenden Mittheihing einige invariantentheoretische Relationen 

 und mehrere Theoreme über Determinanten höheren Ranges aufstellen, welche sich aus dem von mir 

 bewiesenen Multiplicationstheoreme dieser Gebilde ableiten lassen, und sodann im zweiten Abschnitte eine 

 Reihe von Sätzen über Determinanten höheren Ranges, welche aus einer beliebigen allgemeinen Determinante 

 dadurch entstehen, dass in der zu einem bestimmten an festgesetzter Steile befindlichen Index gehörigen 

 Reibe die entsprechenden Elemente der zu einem an anderer Stelle liegenden Index gehörigen Reihe in vor- 

 geschriebener Weise vertauscht und mit willkürlichen Grössen multiplicirt werden, und mehrere bemerkens- 

 werthe aus diesen sich ergebende asymptotische Ausdrücke für Summen von gewissen Determinantenquotienten 

 angeben, von denen besonders zwei interessante Darstellungen der Classenanzahl binärer quadratischer 

 Formen mit negativer Discriminante als mittlere Werthe gewisser Summen von Determinantenquotienten und 

 eine Darstellung derselben durch eine Summe von solchen Quotienten hervorgehoben werden mögen. Zum 

 Schlüsse Iheile ich endlich eine Verallgemeinerung einer der Elektricitiitstheorie angeiiörigen Clausius'sclien 

 Relation mit, die allerdings ausserhalb des Rahmens der anderen Eutwickelungen liegt. 



I. Das Product zweier Determinanten «-ter Ordnung und r-ten bez. .s-ten Ranges 



[^•-..■i vlf't.'i v=i,2, 3, ...,n); \bj„j, jjl(j„j. >s = *.2.3 „I 



ist, wie ich gezeigt habe 'j, als Determinante derselben Ordnung vom Range r+s — 2 



l^-;-!. *= *r+,_2l(i,. lu <.V_,_,_2 = 1, 2, 3 71) 



darstellbar, deren Elemente durch die Gleichung 



A. *. *r + ,-2 — X "*.. *: 'f >■• *T. 



4-1 '■'r-i ^i>.*rfl *,!.>'. *|i-|-i.*r-l->-2 



1) „Über Deteimiiiaiiteu iKllioieu Ranges". Diese Denkschrifteu 4Ö. Band. 



