Determinanten höheren Banges. 



rr o r? 



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I h.h. --.Js + I UiiJ:. 



.ij+i = l,2) 



(A-,, ij, .... i. 



-i) _(iv*r+l' • ■••*r+s— 2)V ('i'^i:' 



.^V— ll"'*l'* *r— 1— =' 



JV *r+i *r+ä-2) *>•■ *'-+l <>+«-2-=' 



, « 



_ (" (*,.iä iV-|) '"*'•'■■= *■'•-' J*r.W2. ■•.^V-(-,_2) "''>•*'•+< *.-+s-2y 



(/(•„ij >iv_i) *■ 



■A„ij,...,<,._l (iv.Av+t 'l>+._2) '"*'•■ ''>+! *>+»-2 , 



und a ^ und 



die 7-te Überschiebung') der Formen « 

 es wird ferner jede der beiden Determincanten auf der rechten Seite der letzten Gleichung gleich Null, wenn 

 bei ungeradem r bez. s die Indices 4 niclit die feste Indexreihe vorstellen, weil die entsprechenden Elemente 

 mehrerer zu einem an bestimmter Stelle befindlichen Iudex gehörigen Reihen denselben Werth haben. 



Die Gesammtheit aller Elemente einer Determinante «-ter Ordnung und ni-ten Ranges, w-elche an der 

 (7-ten Stelle den Index p besitzen, wird hierbei die zum a-ten Index p gehörige Reihe genannt. Zwei in ver- 

 schiedenen solchen Reihen befindliche Elemente heissen entsprechend, wenn ihre Indices an allen Stellen 

 ausser der a-ten übereinstimmen. 



Die bisherigen Entwicklungen liefern demnach folgende interessante Relation zwischen Covarianten von 



,-)H'-+s-2) 



beliebigen binären Formen: 



(*,.*•: k^_i)"'^u''z,---,>'r-l _(iv.*V-t-l.---.*,-+s-2)"'*'-''>+<' ■■■•''r+s-i 



'^x ' "x ^ l(*„^-2 iv+,_s = l,2,3,..,2')— 



und speciell für 



r = s 



ß„h «-V-l) (h-h *r-l) 



*,,*.,, 



> ^r—i ^'i»^'2 ^ 



r-1 



: 1,2,3, ...,2") 



a, = 0. 



'^"x ' "x ^ l(i„-tj, ...,i2. 



Setzt man speciell 



r = s = 2 



so erhält man die bekannte u. A. in Gordan's Vorlesungen über Invariantentheorie enthaltene und vielfach 

 benutzte Formel 



(f, ff, (/; ff, (/; -vf, (f, xY 



K/.,ff, r/.,f)Myyi'y,iyy/y 



= 0. 



1) Sowohl der Überscliiebungs-, als auch selbstverständlich der Omegaprocess, der ja nichts anderes als ein Über- 

 sehiebungsiirocess für Formen mehrerer Reihen von Veränderlichen ist, lassen eine wesentliclic Verallgemeinerung mit Hilfe der 

 Determinanten höherin Ranges zu, wie bei einer anderen Gelegenheit gezeigt werden soll, liier will ich nur noch bemerken, 

 dass man die in der luvariautentheorie gebräuchliche Unterscheidung von Factoren erster Art und Klaunnerfactorcu oder 

 Factoren zweiter Art leicht vermeiden kann, wenn mau die letzteren als Producte von alternirendeu Zahlen betrachtet. Der 

 fundamentale Faltungsprocess stellt sich diiun als ein Verfahren dar, durch welches eine der Anzahl der Veränderlichen gleiche 

 Zahl von Factoren erster Art in alternirendc Zahlen verwandelt wird. 



DjnkscUrifton der mathem.-naturw. Gl. LVltBi. „ 



