Determinanten höheren Ranges. 



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2. Einige englisclie Mathematiker') haben sich mit der Untersuchung derjenigen Gebilde beschäftigt, welche 

 entstehen, wenn alle Glieder einer quadratischen Determinante mit dem jiositiven Vorzeichen versehen werden, 

 und denselben den Namen „Permanenten" gegeben. Diese Functionen sind Übrigens, wie aus früheren Ent- 

 wickeliingen von Herrn R. F. Scott und mir hervorgelit, specielle cubische Determinanten. Man kann natür- 

 lich den Bergifif der Permanenten, ähnlich wie dies bei den gewöhnlichen Determinanten geschah, wesentlich 

 erweitern, indem man als Permanente H-ter Ordnung und m-ten Ranges jenes algebraische Gebilde bezeichnet, 

 welches aus einer Determinante «-ter Ordnung und w-ten Ranges entsteht, wenn allen Gliedern derselben das 

 positive Vorzeichen gegeben wird. Nach dieser Definition ist demnach eine allgemeine Permanente durch 

 folgende Gleichung definirt 



«.•„'; 



\(i„i„. 



.■„,= 1,8,3,.. 



.(1) .(1) .(») 



'1 >'2 ',«-1 ■■ 



Z R ('"'■• 



(2) 



•1 , '2, ■■•> 'm— 1 





m — 1 « m — I 



12 ,„—1 



Aus dieser Gleichung kann mau unmittelbar eine Reihe von Eigenschaften der Permanenten ablesen, von 

 denen nur einige erwähnt werden mögen. 



Eine Permanente «-ter Ordnung und w>-ten Ranges ändert sich nicht, wenn man die entsprechenden 

 Elemente von zwei zu verschiedenen a-ten Indices gehörigen Reihen mit einander vertauscht. 



Jede Permanente M-ter Ordnung und >«-ten Ranges kann als eine Summe von (n)"'-p Permanenten «-ter 

 Ordnung vom Range p {iw:>p) dargestellt werden. 



Eine Permanente w-ter Ordnung und m-(en Ranges bleibt ungeändert, wenn man in allen Gliedern sämmt- 

 liche zwei verschiedenen Indexreihen angehörige Indices mit einander vertauscht. 



Sind alle Elemente einer Permanente «-ter Ordnung und >« ten Ranges gleich Null, welche denselben 

 5-ten Index haben, mit Ausnahme eines einzigen, so ist dieselbe gleich dem Producte aus dem von Null ver- 

 schiedenen Elemente und einer Permanente desselben Ranges von nächst niedrigerer Ordnung. 



Sind alle Elemente einer Permanente «-ter Ordnung und /«ten Ranges, welche denselben a-ten Index 

 haben, gleich Null, so ist dieselbe identisch gleich Null. 



Werden alle Elemente einer Permanente «-ter Ordnung und »i-tcn Ranges, welche derselben Reihe 

 angehören, mit einer und derselben Grösse multiplicirt, so wird die Permanente mit dieser Grösse multiplicirt. 



Sind alle Elemente einer Permanente «-ter Ordnung und w-ten Ranges, welche sich in der zu einem 

 bestimmten an vorgeschriebener Stelle liegenden Index gehörigen Reihe befinden, Polynome von r Gliedern, 

 so ist dieselbe gleich der Summe von r Permanenten desselben Ranges und derselben Ordnung, welche man 

 aus der vorgelegten dadurch erhält, dass man an Stelle der zusammengesetzten Elemente jedesmal einen der 

 Summanden setzt und die übrigen ungeändert lässt. 



1) S. II. A.: Th. Muir, „Ou a cl.ass of permanent Symmetrie fimctions." Proceedings ofthe Royal Society. Edinburgh. V. Xf. 

 p. 4U9-418. 



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