740 Leopold GegenJxiner, 



Genügen die «'"Elemente einer Permanente w-ter Ordnung und »i-tcn Ranges 



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den Gleichungen 



SO ist dieselbe gleich dem «!-fachen der Permanente y^ter Ordnung vom Range m — 1, welche aus den «""' 

 verschiedenen Elementen gebildet werden kann. 



Auf dem von mir in der Abhandlung „Über windschiefe Determinanten höheren Ranges'' •) auseinander- 

 gesetzten Wege lassen sich aus der Definitionsgleichung derselben mit Hilfe des Sylvester'schen 

 Multiplicationstheorems der quadratischen Determinanten leicht zwei für manche Untersuchungen (z. B. über 

 windschiefe Permanenten) recht brauchbare Darstellungen dieser Gebilde ableiten, niimlich: 



(1) (1) i^'r) '(') '(') 'K) (') (') (") ' ' ' 



K''i.'2. •••.',„1 (.-,,. 2,... .<„,= !, 2,3, ...,«) = 2_, n (" ci-J- 



(f) (1) (',.) '(1) '(•) n^r) Ci (') (") ' ' ' ' 



1'2' rl2 r l'2 «j— I 1' 2 ' r 1 2' ' r 



/,j (7 >, /c7 wa \ [-/.(') (-) (")\ / (I) (2) (")> (I) (2) (»x) (') (-) ('t) 1 



A ai V U J U;i LlV. . 'i^x ' • ■ • ' Vj» [V^ , 'Vi' • • • > 'V{ j; /h ,k,,...,k, ; A , , A, , . . . , ^, ; a,J . 



. [(^?V( ; Vx » • • • ? Vx j' i'l^x ' Vx , • ■ • ; Vx j; '^W '^T , • • • ) '^x ; K ,h ,-■■, !h ; «xj [(«Vx ' 'Px ' • • • ' 'l-x ) > 

 / (1) (2) M\ (I) (2) (C-) /(l) /(2) /(j^) '](-/(') (2) (")\ / (1) (2) («)\ 



(^'h{,'i4) — h!,)Th ,K ,---,h ; >'x ,Ax ,...,^x ;axJ[('Vx>'Vx'---' Vx^v^^t' ''Vx'---''>x/''' 



»«— 2) — 1 



'(1) '(2) '(^-x) O <-) (^'x) '] ]-]■ /.(') .(ä) _(«)x 



Xx ,Ax ,-..,Xx ;Ä-x jÄ'x ,...,/.-x ; «X hl {'v^> '■'3 > • -V 'v )«1,,(1), ,(1) ...,,(1) "2,,(2),,(2) i(2) ^„, i('0, ,(«) ,(«) 



12 wi — 1 1 2 m—i 1 2 m — 1 



(1) (1) K) '(') '(I) '(',.) (1) (') (") ' ' ' 



12 r J 2 r 12 »j — 1 12 rl2rr 



I I 1 V 



l.'2.-.',„|(,-,, .-,,...,, •„,= 1,2,3 «)— „! /_j H(, a- 7 



(1) (1) (J^) /(l) /(i) /(v) {I) (1) («) / / / 1 



S 'S ••■••>■. 'S '^2 '---'K "i '^2 ',„-1 = '• 'i- '2 Vi''\----'\ 



V, (I) (2) («K / (1) (2) (»)\ (!) (2) (^x» (') (-) f'x) 



• l «i j(^«J(^«/J [(^Vx'Vx'---'*Fx> VVx'V^---;VO;^'w/''x '--v/'-T ;Ax ,Xx ,...,Ax ; «xj • 



r/ (i) (2) ('0\ / (1) (2) («)\ (I) (2) (J^) (1) (2) (a_l ] r/ O (2) (")\ / (1) (2) (")% 



[(/(.''Vx'---' Vxj' v'Vx' VxvjVxJ; -^^ ''^^ ,---,^x \K ,h ,---,K ; «xj [(^v,, V,,..., VxM^i^t' V'---'V4J; 



(I) (2) (r,^) _'(!) /(2) _'(J-) 'n r/.C .(-' .<"^. /.<') P' ('"h .'<*' '*-) 'K) 



tx jÄx ,...,/.'x ; Ä,. , A-c ,-.-,Äx ; «x j [I^^VC» 'l^x'" ■ ■' Vx/' VVx' 'l^x'' • ■' Vx/' '^^ ' ^^ )--v^x i 



;«— 2r 



-' ' ' ^ '12'»» I 2 w 1 ' 2 >n 



wo die Grösse h- , k-~ ,..., k- ' irgend eine Combinafion tjx-ter Classe der Zahlen 1, 2, 3,. . ., n, die Grössen 

 fx,, n^,. . ., i>.r, p.'i, '/',- ■ ., p-'r, V,, Vj,. . ., v,„_i_2,. bcz. ^„,-2,- ciuc Pcrmutation der Zahlen 1, 2, . . ., m — 1 

 bez. ^rl sind, 



1) Diese Denkschriften, 55. Band. 



