Determinanten höheren Ranges. 741 



eine von den quadratischen Determinanten «-ter Ordnung ist, welche aus (i / i ] dadurch entstehen, 



dass die k -te, k' -te,. ... k ' -te Verticalreihe derselben bez. durch die / -te, X -te, ...,/, ''-te Verticalreihe 



x't''t T'T''T 



der Determinante («■ i ,i'i,. .., i i] ersetzt wird, wo ffenau u- unter den Grössen L von den Zahlen k^ ver- 



schieden sind und bezüglich a- bez. aL von bis zur kleineren von den zwei ganzen Zahlen a- bez. n — «' 

 und n — ex^ bez. n — «' sumrairt wird. 



Es soll nun zunächst ein 8atz abgeleitet werden, der deu innigen Zusammeniiang zwischen Permanenten 

 und Determinanten höheren Ranges klar hervortreten lässt. 



Es mögen alle Elemente «,,,,■ ,-., ^ einer Determinante »-ter Ordnung und (2OT + l)-ten Ranges gleich 



Null sein, in denen 



•',(•) > «' (I) ^ V') > • • • > V') ; «' (3) > «' (2) ^ '-.(2) ^ . . . ^ / (2, , . . . ; / (r) > *■(,■) > t (r) > • • • > « (r) 



i| «•» «■'3 ''t 1 2 3 T. i 2 3 *x 



ist, wo keiner der angefüln-ten Indices der festen Indexreihe angehört und n unter den ganzen Zahlen 

 -,, -,,..., r, gerade sind. 

 Alsdann ist 



I %< '2.- • •. '2„,+ l I (,-,, ,-.,,. . ., /2„,4_i = 1, 2, 3, . . . , n) — 

 M . '2 '■■■,'3m = " 2 in r 



M . '2 .■•■>'2,« = ' 



WO die Marke am Summenzeichen anzeigt, dass alle Indices /„ deren Stellenzeiger eine der Zahlen 

 k''l\ Ä:l'',..., ix' ist, für jeden der angeführten Werthe des A denselben Werth haben, während die Marke am 



Productzeichen angibt, dass jj. keinen der eben angegebenen T^ + 7^+ . . . +r^ Werthe annehmen darf. Führt 

 man in der auf der rechten Seite dieser Gleichung stehenden n(2iii-hi — r, — -^ — . . . — r;. + r)-fachen Summe 

 zunächst die Summation in Bezug auf jene a von den Indices i-','», ä.',2>,. . ., A:M aus, für welche der zugehörige 

 Exponent Ti- gerade ist, so erhält man eine Permanente w-ter Ordnung vom Range c+l, und summirt man 

 sodann in Bezug auf die übrigen Indices, so ergibt sich ein Ausdruck, der aus einer Determinante «-ter 

 Ordnung vom Range 2m+ 1 — r, — -^ . . . r,.+;-— s dadurch entsteht, dass die einzelnen Produete von n Elementen 

 in der Entwicklung derselben durch die eben genannten Permanenten ersetzt werden. Nennt man diesen Aus- 

 druck kurz eine Determinantenpermanente der Ordnung n vom Hange 2m+l — r, — r^ — . . . — Zr+r—a und dem 

 Grade a+1, so erhält man den Satz: 



Sind alle Elemente a,-,, ,, i ^ einer Determinante «-ter Ordnung imd (2w+l)-teu Ranges gleich Null 



in denen 



V») > hw ^ '*(') ^ ■ • • > hw ; «*(2) > »*(2) > «4(2) > • • ■ > ',t(2) ■)•••; hi'^) > '*('•) > • ■ • ^ '*M 



12 3 T, I - 3 Tj i 3 -Zf. 



ist, wo keiner der angegebenen Indices der festen Indexreihe angehört und (t von den ganzen Zahlen 

 r,, Tg,. . ., r,. gerade sind, so ist dieselbe gleich einer Determinantenpermanente der Ordnung n vom Range 

 2?»+l — r, — r^ — . . . — T,. + r — n und dem Grade u+l. 



Berücksichtigt man die bekannte Eigenschaft der Determinanten ungeraden Ranges rücksichtlich der 

 Gleichsetzung aller festen Indices und die in dieser Mittheilung abgeleitete analoge der Permanenten, so erhält 

 man aus diesem Satze das neue Theorem: 



