742 Leopold Gegenbauer, 



Sind alle Elemente a,,,, 2,..., i2,„ einer Determinante ?jter Ordnung und (2m)-ten Ranges gleich Null, in 

 denen 



'*(') > 'i-o > 'ii") > ■ • . > 'i.(i) ; '/,(■■;; > ',,(2) > «i(2) > ■ • ■ > ''i(2) ; • • • ; 'iW > '/.c-) > ',('■) > • • • > »>(r) 



12 3 T, 1 2 3 Tj i 2 3 T^ 



ist, SO ist dieselbe gleich einer Determinantenpermanente der Ordnung n vom Range 2ot+1 — r, — z^ — . . .r^+>- — c 

 und dem Grade a, wenn a die Anzahl der geraden unter den ganzen Zahlen r,, r^, . . ., r^ ist. 



Speciell ergeben sich aus diesen Sätzen die zwei von mir früher') in anderer Weise ermittelten 

 Gleichungen 



+ 



P'l. '■2.---.»2,»+l |o-,, !2,...,i5„,_,_, =1,2, 3,...,K) — T'l. '2. 'S.- ■•.!,„ +1,12. '•3.--.''m4-l|ci,, ij, ■ • •, im+i = '• 2, 3,. . ,, „) 



Kl, ,-2,---,!-2„>+l = i'ä ^ '"'+2' '3 > ^«+3,- ■ •, «m4-l > ''2m+lj ) 



+ 

 P''l."'2.---.''2„, |o-,,!2,...,i2,„= 1,2,3,...,») |^''|.''2.-->''l>!'2 '», | (^•^, ij,. . ., i,„ = 1, 2, 3,. . . ., n) 



(a,-,, ,■,,..., i-im—^ 1'"' > '"' + '' '2 > *"'+2, • • • > «'« > «2/4 )• 



Den speciellen Fall m = 1 der ersten Gleichung hat bekanntlich Herr R. F. Scott^) gefunden. 



Da die Permanenten sich als specielle Fcälle von Determinanten höheren Ranges erwiesen haben, so lassen 

 sich Multiplicationstheoreme derselben aus dem Multiplicationstheoreme der Determinanten ableiten. Dasselbe 

 liefert zunächst die Gleichung 



|^'l.'2.---.'„,| • r>l. J2.--'. j»|(;,,i2,... ,:,„,;■„ J2,- ••,;„ = 1,3, 3,...,«) —| ^41,^2 *2,„ + 2s_4 | {ij, ij. • • •,*2,«+2.-4 = i,«-»- • •, ") 



WO 



^ij.ij i-2m+2s— 4 ^ *"* (^2 >- ^'"J '% > "^m+i)- • •) "'ci-l >- "■»! +ci— 2, «oi + l ;;:> «^m+cj— ij- • •? A',„_| ;^ A-2„,_3, 



^2m— l>^'2»i+s— 2l A"2m>. fc2,n+s— 1; • ■ ■ , K2„i+'f,—H >■ ft'2m+s+3— d,"^2m-|-3_2 >• fem+s + ß— 4; • • • , Kim-^s—i >- "■'2m— 2s— sS^a >- «'■2»i+^— s) 



^Al,42. •••,*„- l.*a'*a+l' ••••*/«— l'*2.*3."-.*(j-l'*or+l'"-'*M—l'*m'*M+l'''-™4-2'---.*OT+p—2.*^ct'*«l+ß'-"i^m+s—2>*^^^ 

 ^=ß*l,i2,...,4a_l,i„,i-a4.1,...,i,„_l,i2.*3.---'''a — l'''a'''(I+l>-"''m-l''''»i>*M4-l'"-'*m+P-2'*ct>^;H+P ^■,«4->— 2'''m+l'''m-t-2.-,*7n+p-2>*o'''m+p'""''m+.— 2 



ist und die Indices K und k^ nicht an der Stelle der festen Indices stehen dürfen. 



Die eben ermittelte Gleichung liefert das Theorem: 



Das Product vo"n zwei Permanenten w-ter Ordnung und »i-ten bez. s-ten Rnnges lässt sich als eine cubische 

 Determinantenpermanente w-ter Ordnung vom Grade m+s— 3 darstellen. 



Auf demselben Wege lässt sich der folgende, übrigens unmittelbar aus der Definitionsgleichung der Per- 

 nanenten ersichtliche Satz ableiten: 



Das Product von zwei Permanenten w-ter Ordnung und >w-ten bez. s-ten Ranges ist eine Permanente «ter 

 Ordnung vom Range »w + s — 1. 



3. Mit Hilfe des Multiplicationstheorems der Determinanten höheren Ranges beweist man ferner leicht die 

 folgenden Sätze: 



1) „Zur Theorie, der Determinauten höhereu Ranges." Diese Denkschriften 4G. Band. 



2) „On some Forms of Cubic Determinants." Proceedings of the London Mathematical Society. Vol. XlII. 



