Determinanten höheren Ranges. 743 



Ersetzt man in einer Determinante «-ter Ordnung und w/teii Kanges die Elemente von p g n. zu beliebigen 

 a-ten Indices c;,, r,^^, . .^ a^ gehörigen Reihen a<.,,<2,...,/^_,,a^,i.,^,,...,4^ (/•,, Z-^,..., A-„_i,i-,^_i,..., k,„ — 1, 2, 3,...,«; 

 X =: 1, 2, 3, . . . , p) durch die Summen 



z 



ak^,k.i,...,k^_^,c^,k^ *,_i,*c+i. •■•. ',„ '-Po {[\ F-]) (,"• — 1> 2, 3,. . . , p) 



wo bei ungeraden w? weder die a-teu noch die r-ten Indices die feste Indexreihe vorstellen, [l, /x] der grösste 

 gemeinsame Theiler der ganzen Zaldeu Ä und /j. und -^^ ([/, ja]) die Anzahl der Divisoren desselben ist, so 

 ändert sich die Determinante nicht. 



Eine Determinante « ter Ordnung und »(-ten Ranges wird mit YA 2°>.~ [2 — p^.) multiplicirt, wenn man iu 



1 

 p, zu beliebigen c;,-teu ladices der ursprünglichen, p^ zu beliebigen a^-tcn Indices der durch den eben 

 genannten Process entstehenden neuen Determinante , ..., p, zu beliebigen t7<-ten Indices der vorletzten Deter- 

 minante gehörigen Reihen von den Elementen einer jeden Reihe die Summe der entsprechenden Elemente der 

 pi — 1 (l z= 1, 2,. . ., s) anderen subtrahirt, wo bei ungeradem m die feste ludexreihe von der a^, a^,. . ., G,-teü 

 verschieden ist. 



Ersetzt mau in einer Determinante ii-tev Ordnung und ?H.ten Ranges die Elemente von p ^ « zu beliebigen 

 (7-ten Indices a^, a.^,..., ^p gehörigen Reihen ai,,i2,...,i-3_,,a^,i,,^, ,...,«,„ (/.■,, ^a, ••■, h-i, k^+i, ■ ■ ■, k,„ = 

 = 1, 2, 3,. . ., «; X = 1, 2, 3j. . ., p) durch die Summen 



>-=p /AH l^ 

 Nai„(2,...,A-^_„T>.,i^,...,i-,_i,*„+,,. ..,*„, 'y^ — (/A = 1, 2, 3,. . ., p) 



wo bei ungeradem m weder die a-ten noch die r-ten Indices die feste ludexreihe vorsteilen, f (A, x) die Anzahl 

 der Darstellungen der ganzen Zahl x durch das System der binären quadratischen Formen der Fundamental- 

 discriminante A, [X, ix] der grösste gemeinsame Theiler der ganzen Zahlen X und ;j. und r, die Anzahl der 

 Transformationen einer Form der Discriminante A in sich selbst ist, so ist die neue Determinante gleich Null, 

 wenn A nicht zu allen ganzen Zahlen des Intervalles 1. . .p theilerfremd ist. 



Ersetzt man in einer Determinante w-ter Ordnung und ?«-ten Ranges die Elemente von p ^ ii zu beliebigen 



(7-ten Indices o^, a^, , o, gehörigen Reihen ai,,,;^ i^_j,a,,43_,., ,...,*,„ U-j, K>---j ^'^-h ^'^+h •■■ > ''"»' = 



=: 1, 2, 3, . . ., n; X ^ 1, 2, 3, . . ., p) durcii die Summen 



X=p 



^«*l.i2 ix-L-X.*. *.-i.'t.+l i,„ '^(^F-l) ((^=1, 2, 3,..., p) 



X=l 



wo bei ungeradem m weder die a-ten noch die r-fen Indices die feste Indexreihe vorstellen, [X, pi.] der grösste 

 gemeinsame Theiler der beiden ganzen Zahlen X, pi und oj ([X, pi]) die Anzahl der Zerlegungen desselben in ein 

 Product von zwei theilerfremden Factoren ist, so ist die dadurch entstehende Determinante gleich der ursprüng- 

 lichen oder Null, je nachdem p < 4 oder p ^ 4 ist. 



Ersetzt man in der Determinante «-ter Ordnung und (2 »)-ten Ranges la,, ,-, ,., \,. . . ., , „wo 



o Vi/ ° 1 '1' '2'- ■ ■' '2^, |(,(, i,,. ..,i.,„ = i, 2, 3 ny 



«ij, .-j,. . ., .2^ = (jj -5, ij,+ l, /jj ~, ip^2, •••)':?>. '2i)) 



'''■'l. »i.- • •> •>. •!■ '2 'p~~^ 



ist, die Elemente von p ^ M zu beliebigen 7-ten Indices ff,, (Jj,-.., ffp gehörigen Reihen ak^^^^ *,_i,'x*c-i-i.-'*2^ 



{k^, Ä'j, . . . , Ä-a_t, A-^+i, . . . , ^^2^ ^ 1, 2, 3, . . . , w ; X := 1, 2, 3, . . . , p) durch die Summen 



