744 Leopold Gegenhauer, 



).= 1 



WO [l, iJ.] der grösste gemeinschaftliche Theiler der zwei ganzen Zahlen 1, fj. und ^^ ([X, /j.]) die Summe der )fc-ten 

 Potenzen der Theiler desselben ist, so ist die so entstehende Determinaute gleich (?«'•)''"' (f>l'f ■ 



Ersetzt man in einer Determinante «,-ter Ordnung und w(-ten Ranges in p, zu beliebigen c7,-ten Indices 

 gehörigen Reihen die Elemente einer jeden Reihe durch die Summe der entsprechenden Elemente der p^ — 1 

 anderen, in der dadurch entstehenden Determinante in p^ zu beliebigen a^-ten Indices gehörigen Reihen die 

 Elemente jeder Reihe durch die Summe der entsprechenden Elemente der p^ — l übrigen, . . ., endlich in der 

 vorietzten durcli Fortsetzung dieses Verfahrens sich ergebenden Determinante in p, zu beliebigen c.-ten Indices 

 gehörigen Reihen die Elemente jeder Reihe durch die Summe der entsprechenden Elemente der p, — 1 anderen, 

 wo bei ungeradem ;h die c;,-ten, 'j^-tcn, ..., c7s-ten Indices nicht die feste Indexreihe vorstellen, so ist die 



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schliesslich entstehende Determinante gleich der ursprünglichen multiplicirt mit O ( — l)'')"' (p^^— 1). 



Ersetzt man in einer Determinante «-ter Ordnung und m-ten Ranges die Elemente von p ^ n zu beliebigen 



(7-ten Indices (7,, a^,. . ., a^ gehörigen Reihen ai,,i2,.,.,t^_,,,^,i^^, i,^^ {k^,k^,...,k,^^,k,+t,....k„,z= 1,2,3,..., ir, 



1=1,2, 3,. . ., p) durch diejenigen quadratischen Determinanten {ak^,i.,, ..., ^^_^, ^^, i^, ..., i^_^, l■^_^^, ..., *,„; 

 |i,-, iL , , ,)) ^^ßlche dadurch entstehen, dass in der quadratischen Determinante |i,i|,., 



I •' "K"! * = '1, »2, US,.-., tip)" > I ] '.''|(,,4=(jj,(j2,. ■-.Op) 



die p Elemente der X-ten Verticalreihe durch die Grössen rt/., >.., ,. , „, /, ,. , ,, , /. (X = 1, 2, 3,. . ., p) 

 ersetzt werden, so ist die neue Determinante gleich dem Producte aus der ursprünglichen und der (p — l)-ten 

 Potenz der quadratischen Determinante 16, a|,., ,. Für ein ungerades m stellen hierbei weder die 



^ I '•{(', t = cn,c:2 Op) O 



ff-ten noch die r-ten Indices die feste Indexreihe vor. 

 Ist p ^=n, so entsteht die specielle Formel 



|(.a*,,42,...,i^_,, J, i^,...,i,_j,i,_j_j,...,i„, ; P!, i|(,-, 4 = l,2,3,...,7,)|(i,,i2,.-.,i^_i,£',A,,...,i(,_l,4a+|.---.*,«='. 2, 3,...,7i) 



~ l^''Hjri*=l,2,3 n) ■ I'''''l'*2'---*'«l(*i,i2,---,*,„=l,2,3 „)• 



Diese Gleichung hat für quadratische Determinanten Herr W. Kretkowski') ermittelt. 



Das zweite von diesen Theoremen haben die Herren C. L. Landrö^) und Fouret^) für quadratische 

 Determinanten im Allgemeinen abgeleitet, während Herr Glaisher*) es für die specielle Determinante 

 |«,-i|(i-, i = o, 1,2,3,... ,n-i) bewies. Das vorletzte Theorem enth.ält als ganz speciellen Fall den folgenden von 

 Glaisher a. a. 0. aufgestellten Satz: 



Die Determinante | a,_i | (,, jt = o, i, 2, ...,«-() ist so beschaffen, dass ihr Werth mit (—1)"-' (n — 1) muUiplicirt 

 wird, wenn man ihre Elemente a^, «,,. . ., «„_! durch die Summen a^-^-a^-h . ■ . +«„_i, a^, + ()^ + a^+ . . . +«„_i, 

 . . ., a^+ö, + . . . +fl,,_2 ersetzt. 



II. Über diejenigen Determinanten höheren Ranges, welclic aus einer beliebigen allgemeinen Determinante 

 hervorgehen, wenn man in der zu einem bestimmten an festgesetzter Stelle befindlichen Index gehörigen 

 Reihe die entsprechenden Elemente der zu einer an anderer Stelle liegenden Index gehörigen Reihen in 



1) „Beweis eines Satzes über zwei allgemeine Determinanten." Denkschriften der k. Akademie der Wissenschaft(Mi in 

 Krakaii, LX. Bd. Der Inhalt dieser in pohlischer Sprache veröifentlichten Mittheilung ist mir nur dureh das Ket'erat in den „Fort- 

 schritten der Mathematik" bekannt. 



") Eene Stelling omtrent determinanteu." Nieuw Archief voor wisknnde, VI, 208 — 211. 



3) „Sur une mode de trausformation des deterniinants". Bidlctin de la sociöte de mathematiques de la France; t. 14, 

 p. 146—151. 



■*) „On somc algobrical expreasions whicli are unaltered by certain substitutions." The iMesscnger of mathematics, (2; X. 



