Dderminanfen höheren Banges. 715 



vorgeschriebener Weise vertauseiit, lassen slcii mit Hilfe von früher bei verschiedenen Gelegenheiten von mir 

 aufgestellten Sätzen eine Reihe von Theoremen ableiten, von denen in den folgenden Zeilen einige angegeben 

 werden. 



Hat die Coiignienz 



'o' 



f{k) ^k (mod. n) 



sämmtliche Theiler der ganzen Zahl l<ix:^n und nur diese zu Wurzeln, und ersetzt man in einer Determi- 

 nante n-ter Ordnung und w-ten Ranges der Reihe nach in jeder der zu den verschiedeneu r-ten Indices gehörigen 

 Reihen die Elemente der zum a-teu Index k gehörigen Reihe durch Null, wenn k durch ein Quadrat (ausser 1) 

 theiibar ist, und durch die mit dem positiven oder negativen Vorzeichen versehenen entsprechenden Elemente 

 des Index /(l), je nachdem /.• eine gerade oder ungerade Anzahl von Primfactoren enthält, für k=z 1,2,3,. . .,//, 

 wo alle Indices nach dem Modul n zu nehmen sind und für ein ungerades m weder die a-ten noch die r-ten 

 Indices die feste ludexreihe vorstellen, so ist die Summe der so entstehenden n Determinanten gleich Null. 

 Hat die Congruenz 



-■o' 



f(k)^klinod.n) 



sämmtliche Theiler der ganzen Zahl 1^ i^^n und nur diese zu Wurzeln und ersetzt man in einer Determinante 

 /<-ter Ordnung und ;«-ten Ranges der Reihe nach in jeder der zu den verschiedenen --ten Indices gehörigen 

 Reihen die Elemente der zum ^-ten Iudex Ä; gehörigen Reihe durch die mit dem positiven oder negativen Vor- 

 zeichen versehenen entsprechenden Elemente der zum s-teu Index fl^k) gehörigen Reihe, je nachdem k aus 

 einer geraden oder ungeraden Anzahl von (gleichen oder verschiedenen) Primzahlen zusammengesetzt ist, für 

 A: = 1, 2, 3, . . ., «,, wo alle Indices nach dem Modul n zu nehmen sind und für ein ungerades ■;« weder die 

 c;-ten noch die r-ten Indices die feste Indexreihe vorstellen, so ist die Summe der so entstehenden y<-Deter- 

 miuanten gleich der ursprünglichen Determinante oder Null, je nachdem p. das Quadrat einer ganzen Zahl ist 

 oder nicht. 



Ersetzt mau in einer Determinante »-ter Ordnung und in-ten Ranges der Reihe nach in jeder der zu den 

 verschiedenen r-ten Indices gehörigen Reihen die Elemente der zum o-tea Index /,■ gehörigen Reihe durch die 

 entsprechenden Elemente des Index n+1 — A; für ä;=: 1, 2, 3, . . ., n, wo bei ungeradem in weder die aten noch 

 die r-ten Indices die feste Indexreihe vorstellen, so ist die Summe der so entstehenden n Determinanten gleich 

 der ursprünglichen Determinante oder Null, je nachdem n ungerade oder gerade ist. 



Hat die Congruenz 



■'o' 



f(k)^k (moä. 71) 



sämmtliche Theiler der ganzen Zahl l^ix-^n und nur diese zu Wurzeln und ersetzt man in einer Determinante 

 «,-ter Ordnung und w-ten Ranges der Reihe nach in jeder der zu den verschiedenen r-ten Indices gehörigen 

 Reihen die Elemente der zum ci-ten Index k gehörigen Reihe durch Null oder die mit A:*^ multiplicirien ent- 

 sprechenden Elemente des Index f(k),iü nachdem A; durch eine r-te Potenz (ausser 1) theiibar ist oder nicht, 

 für A;:= 1, 2, 3,. . .,n, wo alle Indices nach dem Modul n zu nehmen sind und für ein ungerades ni weder die 

 c7-ten noch die r-ten Indices die feste Indexreihe vorstellen, so ist die Summe der so entstehenden n Determi- 

 nanten gleich dem Producte aus der ursprünglichen Determinante und der Summe der X-ten Potenzen derjenigen 

 Theiler der ganzen Zahl /a., welche durch keine r-te Potenz (ausser 1) theiibar sind. 

 Hat die Congruenz 



f{k)^k (mod. >i) 



sämmtliche Theiler der ganzen Zahl l^jüi^« und nur diese zu Wurzeln und ersetzt man in einer Determinante 

 «-ter Ordnung und m-ten Ranges der Reihe nach in jeder der zu den verschiedenen r-ten Indices gehörigen 

 Reihen die Elemente der zum a-ten Index k gehörigen Reihe durch Null, wenn A; =; 1 ist oder mindestens einen 



Daakschril'teu dar laatliem. u:iturw. VA. I.VÜ. lid. g. 



