Determinanten höheren Ranges. 747 



allen anderen Fällen, für / = 1,2,3, ■■ .,n, wo alle Indices nach dem Modul //, zu nelimen sind und für ein 

 ungerades m weder die a-ten noch die r-ten Indices die i'este Indexreilie vorstellen, und dividirt jede der so 

 entstehenden «Determinauteu durch die ursprüngliche, so ist die Summe dieser «Quotienten gleich der Anzahl 

 der Classen binärer quadratischer Formender Discriminante A?^^. 



Ersetzt man in einer nicht verscliwindenden Determinante «-ter Ordnung und »«-teu Ranges der Reihe 

 nach in jeder der zu den verschiedeneu --ten Indices gehörigen Reihen die Elemente der zum -r-ten Index 

 ^ gehörigen Reihe durch die entsprechenden Elemente des Index P + /;—Z> für A:=:l, 2,3, ..., «, wo alle 

 Indices nach dem Modul ii zu nehmen sind, für ein ungerades m weder die c-ten noch die r-ten Indices die 

 feste Indexreihe vorstellen und bei doppelt geradem n D^].(moA.A), bei mindestens dreifach geradem aber 

 D^\ (med. 8) ist, und dividirt jede der so entstehenden «Determinanten durch die ursprüngliche, so ist die 



Summe dieser Quotienten gleich 2''^ |) jf — j + ( — j , wo^j,,;^^) • ■ -iPr alle ungeraden Primfactoren von n 



sind und /j. die Werthe 0, 1, 2 erhält, je nachdem n ungerade oder einfach gerade, doppelt gerade, oder 

 endlich mindestens dreifach gerade ist. 

 Hat die Congruenz 



^ö' 



f {k)^k{mo([.n) 



sämmtliche Thciler der ganzen Zahl 1 ^ /a^ m und nur diese zu Wurzelu und ersetzt man in einer Determi- 

 nante «ter Ordnung und »«-ten Ranges der Reihe nach in jeder der zu den verschiedenen r-ten Indices 

 gehörigen Reihen die Elemente der zum c7-ten Index k gehörigen Reihe durch Null, wenn k einen Primtheiler 

 der Fundanieutaldiscrirainante A besitzt, und durch die mit dem positiven oder negativen Vorzeichen ver- 

 sehenen entsprechenden Elemente des Index /^A;), je nachdem das Legendre-Jacobi'sche Symbol i-rj 



den Werth + 1 oder — 1 bat, falls /.■ zu A theilerfremd ist, für A: = 1, 2, 3, . . ., «, wo alle Indices nach dem 

 Modul n zu nehmen sind und für ein ungerades m weder die a-ten noch die r-ten Indices die feste Indexreihe 

 vorstellen, so ist die Summe der so entstehenden n Determinanten gleich dem Producte aus der ursprüng- 

 lichen Determinante und der Anzahl der Darstellungen der ganzen Zahl ii. durch das System der binären 

 quadratischen Foi'men der Fnndamentaldiscriminante A dividirt durch die Anzahl der Transformationen einer 

 Form der Discriminante A in sich selbst. 



Haben die Systeme a^+t und hi+k ( /, A; = 0, 1, 2, . . . , p — 2) in Bezug auf den ungeraden Primzahlniodul p 

 denselben Rang und ersetzt man in einer Determinante ^j-ter Ordnung und ?H-ten Ranges der Reihe nach in 

 jeder der zu den verscliiedenen r-ten Indices gehörigen Reihen die Elemente der zum a-ten Index k gehörigen 

 Reihe einmal durch die entsprechenden Elemente des Index 



a^^ki'-^ + a^ k>-^-+ . . . -l-«^,_4p + (rt^,_3-4-l) A4-«^_2 

 und ein anderes Mal durch die entsprechenden Elemente des Index 



^0 kP-^ + b^ k"-^+ . . . -4-&,,_4 F-+-(6,,_3+ 1) k+bp_.. 



für A = 1, 2, 3, . . .,^;, wo a^,_2 und b^j^^vAip theilerfremd sind, alle Indices nach dem Modul /j betrachtet 

 werden und bei ungeradem m weder die -r-ten noch die r-ten Indices die feste Indexreihe vorstellen, so geben 

 die jedesmal entstehenden ^) Determinanten die gleiche Summe. 

 Hat die Congruenz 



j&» 



f(h)^k{\noA.n) 



sämmtliche Theiler einer dem Intervalle fx — r, -^ 1 . . .,u. -<- vj^« angehörigen ganzen Zahl und nur diese zu 

 Wurzeln, wo 



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