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36 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pour généraliser le ihéorème de Mirimanov, j'envisage un module quel- 

 conque m, puis l'entier positif a premier avec m, et j'observe que l'on a 

 identiquement 



; > ^ — -^7^ — - ( mod m), 



v = i a' — m\ — 



V m 



l'exposant d étant un tliviseur de (p(w) tel que 



a''^ [ (niod in). 



Posant de = 9(»0' "'^ aura, en effet, 



<y(«,'« == ^e- (mod m), 



et il s'ensuit 



(0 — 7r-^^2p' 



P parcourant les restes des différentes puissances de a, et les a étant déter- 

 minés par la condition 



mx + ^^o (mod fl\ o5a. <^rt. 



Mais la formule de Mirimanov ne possède le type des théorèmes de Syl- 

 vester que dans les cas particuliers. Afin de restituer les théorèmes du 

 savant anglais, j'ai établi la congruence 



V parcourant les <!^{tn) nombres premiers avec m et plus petits que m. Cette 

 congruence se vérifie en développant le premier membre de l'équation 

 identique 



nh-»(ïï)]=n- 



V 



La formule (2) rend les mêmes services, et est peut-être plus commode 

 que les formules de Sylvester, mais elle permet aussi d'établir ces dernières 

 rectifiées. Les formules en question s'écrivent 



(3) y'v-.^^T^-^T [^^oàm). 



