SÉANCE DU 8 JANVIER 1906, 75 



2. Pourtant, dès le cas d'une seule variable x et d'une seule fonction 

 X =/(ir), le fait que la dérivée/' soit différente de zéro, suffisant pour 

 l'unicité, n'assure pas à lui seul la propriété (a). Il faut encore que l'inté- 

 grale //' dx soit infinie pour x' = ± ao. 



Dans le cas de njs dimensions, il est d'ailleurs visible qne le rôle de la 

 dérivée ne doit plus être joué, à ce point de vue, par le déterminant fonc- 

 tionnel, mais pir le petit axe m de l'ellipse de déformation, c'est-à-dire, 

 pour n = 2, par la plus petite val-eur du rapport 



sl(dX^ + dY^)\(dx'' + dy'), 



celle-ci devant vérifier la condition suivante : 



« Condition (^m). — La quantité m ne s'annule jamais à distance finie. 

 A l'infini, ou bien elle reste supérieure à un nombre positif fixe, ou, si elle 



peut devenir infiniment petite en même temps que- (« = \Jx^ + J*)> l'in- 

 tégrale imdt est infinie, w 



3. Mais, en même temps, une difficulté nouvelle apparaît en ce qui 

 regarde la condition (è). On sait, en effet, que le non-évanouissement du 

 déterminant ne suffit plus (pour n =^ 1) à assurer l'unicité dans une région 

 finie quelconque du plan. 



Les fonctions X, Y étant définies pour toutes les valeurs de x, y inté- 

 rieures à un certain cercle C, de manière que leur déterminant fonctionnel 

 reste toujours positif et supérieur à un nombre fixe, il peut néanmoins 

 arriver que deux ou plusieurs systèmes de valeurs de x et de y fournissent 

 le même système de X et de Y ('). 



4. Ce fait donnera peut-être quelque intérêt à la remarque suivante : 

 Si la condition (m) (n° 2) est vérifiée dans tout le pl.vn des xy, les deux 



conditions (a) et (b) sont remplies : l'inversion est possible et univoque. 



Ainsi, une transformation peut se comporter, à l'intérieur d'un cercle C, 

 comme il vient d'être indiqué au n" 3; mais une telle transformation ne 

 saurait être, de quelque manière que ce soit, prolongée indéfiniment en 

 dehors de C, si l'on veut satisfaire à la condition (m) tant à distance finie 

 qu'à l'infini. 



5. La démonstration est très simple, au moins dans son principe : il suf- 

 fit de suivre la déformation du contour S(/) qui, dans le plan des XY, cor- 



(') Voir GoukSAT, Cours d'Analyse, l. I, p. 299; et, à un autre point de vue, les 

 travaux de Lipschilz, Kneser, Arzelà. 



