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respond à la circonférence de rayon t du plan des xy. Si, à partir d'une 

 valeur /„ de^, la transformation cesse d'être bi-univoque, S présentera au 

 moins une boucle, c'est-à-dire un contour partiel n se fermant sur lui-même 

 par un point anguleux unique. 



Tout point double/» d'un contour le divise en deux boucles, l'une exté- 

 rieure, c'est-à-dire telle que les points compris dans un angle au sommet 

 ont, par rapport à S, un indice plus petit que les autres points voisins de p ; 

 l'autre intérieure, où l'inverse a lieu. 



Tout contour fermé qui a des points doubles présente au moins une 

 houc\e simple, c'est-à-dire ne se coupant pas elle-même et délimitant, par 

 conséquent, une aire déterminée. 



6. Suivons maintenant la déformation de S. Supposons, pour simplifier, 

 les fonctions X, Y analytiques et sans singularités réelles à distance finie. 

 Alors les points doubles de S seront en nombre fini et ne changeront de 

 nombre ou de disposition qu'un nombre fini de fois |)our t fini. 



Ces points doubles ne pourront pas, comme il arrive dans d'autres cas, 

 naître ou disparaître par des boucles évanescenles (lesquelles, pour se ré- 

 duire à des points, devraient avoir une courbure infinie, contrairement à 

 nos hypothèses), mais seulement \^Ar àes,bi angles (contours fermés partiels 

 à deux points anguleux) évanescents extérieurs ou intérieurs (au même 

 sens que précédemment). En supprimant de S un biangle extérieur ou inté- 

 rieur, il reste deux boucles intérieures dans le premier cas, extérieures 

 dans le second. 



Il résulte de là qu'un contour se déformant comme S (c'est-à-dire de 

 manière que les indices aillent toujours en croissant) ne peut avoir de 

 boucle simple intérieure. 



7. Prenons alors la boucle simple a,, extérieure au sens précédent, mais 

 intérieure au sens vulgaire du mot, que présente le contour S(/o). On 

 constatera aisément que cette boucle (qui, nous l'avons vu, ne peut déjà 

 pas disparaître en se réduisant à un point) ne peut être détruite d'aucune 

 façon. Tous les contours successifs S(^) présenteront des boucles simples a, 

 variant quelquefois discontinùment, mais intérieures les unes aux autres. 

 Dès lors il existera, dans le plan des XY, un point P intérieur à tous les 

 contours n. Or c'est ceci qui, à l'infini, est incompatible avec la condi- 

 tion {m), comme on le reconnaît immédiatement en joignant P à un point 

 de (7o, et considérant l'intersection (y) de la ligne ainsi obtenue avec 

 chaque ligne c, ainsi que l'image de q dans le plan des xy- 



8. L'hypothèse de la non-analyticité de X, Y introduit une difficulté, 

 mais toute superficielle. Les points doubles peuvent être en nombre infini 



