SÉANCE DU l5 JANVIER 1906. l'i'j 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales infïnimenl voisines des équations 

 aux dérivées partielles. Noie de M. E. Goursat. 



1. Quand on cherche à étenche aux équations aux dérivées partielles 

 les théorèmes établis par M. Poincaré pour les équations difTérentielles 

 ordinaires {Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, 1. 1, Chaj). II), on 

 est arrêté tout d'abord par des dilficultés tenant à ce que les coelOcients des- 

 séries que l'on veut obtenir sont déterminés par des équations linéaires 

 aux dérivées ])artie1les et non par des équations difTérentielles linéaires à 

 une seule variable indépendante. Mais les plus grosses difficultés dispa- 

 raissent si les intégrales supposées connues, qui correspondent à des valeurs 

 nulles des paramètres, sont rapportées à leurs lignes caractéristiques. En 

 supposant remplie cette condition, on obtient des propositions analogues 

 aux théorèmes de M. Poincaré, que j'énoncerai en me bornant d'abord aux 

 fonctions analytiques. 



2. Soit 



(i) ^ = t''(-^..>'.'V. .v„, =.'/,. y. v». ">•). '7' = jt; 



une équation aux dérivées partielles oùa-, v,, j'o, . . ., v„ sont des variables^ 

 indépendantes et X un paramètre variable. On suppose que le second 

 membre de cette équation peut être développé en série entière, ordonnée 

 suivant les puissances de z, y,, q.^, . . ., q„, a, dont les coefficients sont des 

 fonctions holomorphes des variables x,y^,y.^, . . ., y„, lorsque ces variables 

 décrivent respectivement dans leurs plans des domaines connexes Dj». 

 D,_, ..., D, •, de plus cette série est convergente, quelles que soient les 

 valeurs de x,y,,y.^, ..., y„ dans ces domaines, pourvu que les modules 

 de z, q,, q^, .. ., q„, \ ne dépassent pas un nombre positif r, ; elle ne ren- 

 ferme aucun terme indépendant de z, q^, q.^, ..., y„, a, et les termes du. 

 premier degré ne renferment que ; et a. On peut alors se proposer de 

 développer suivant les puissances de >. l'intégrale de l'équation (i) qui 

 s'annule pour a; = o, quelles que soient les valeurs de ^v, , Vo. . . •, v«. A, 

 et l'on trouve une série 



satisfaisant formellement à l'équation (i), et dont tons les coefficients sont 



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