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(les fonctions holoiuorphes des variabh^sj:, y,, >%, . . ., x„, dans les domaines 

 considérés, pourvu (|ue D^. soit simpleinenl connexe. \a convergence de ce 

 développement résulte de Va jîroposition suivante : 



A tout système de domaines D,., D' , . . . , D| , intérieurs respectivement aux 

 domaines D^, D, , ..., D,. , on peut faire correspondre un nombre positif r, 

 tel que l'intégrale en question soit une fonction holomorphe des variables x, 

 y\ , y.^, . . ., )'„, \, lorsque les variables x, y ,, y.,, . . ., }'„ décrivent respective- 

 ment les domaines D, , D[ , . . ., D^ _, pourvu que le module de \ reste inférieur 

 rt •/). 



Le théorème s'étend aussi aux systèmes d'équations simultanées du pre- 

 mier ordre et, au lieu d'un seul paramètre, on pourrait en supposer un 

 nombre quelconque. 



3. Considérons encore une équation aux dérivées partielles du second 

 ordre 



(3) s = Y{x,y,z,p,q,r,t,\) 



à deux variables indépendantes, dont le second membre peut être déve- 

 loppé en série entière ordonnée suivant les puissances de :;, p, q, r, l, a, 

 dont les coefficients sont des fonctions holomorphes des deux variables x 

 et y lorsque ces variables décrivent respectivement dans leurs plans des 

 domaines simplement connexes D^. et -D^.. Cette série est convergente, 

 quelles que soient les valeurs de x et ùe y dans ces deux domaines, pourvu 

 que les modules de z, p, q, r, t, 1 ne dépassent pas certaines limites, et elle 

 ne renferme aucun terme indépendant ni aucun terme dti premier degré 

 en /• et /, de façon que les droites x = C, y = C forment les deux systèmes 

 de caractéristiques de l'intégrale particulière 3 = 0, qui correspond à la 

 valeur X ^=: o du paramètre. Dans ces conditions, on peut se proposer de 

 développer suivant les puissances de )i l'intégrale de l'équation (3) qui se 

 réduit à zéro pour x = o, quels que soient y et 1, et qui est nulle aussi 

 pour y = o, quels que soient x et 1; on obtient un développement qui 

 satisfait formellement à l'équation (3) et dont tous les coefficients sont des 

 fonctions holomorphes de x et àey, lorsque ces variables décrivent res- 

 pectivement les domaines D^., D^. La convergence de ce développement 

 résulte encore de la proposition suivante : 



Soient D,, el D^. deux domaines intérieurs respectivement à D^. et à D^ ; on 

 peut leur faire correspondre un nombre positif r, tel que Cinlc^rale précédente 

 suit une fonction holomorplw <ie x, y, a, lorsque les variables x et y décrivent 

 respectivement les domaines D^, D^, pourvu que | \ \ soit inférieur à Y]. 



