SÉANCE DU 13 JANVIER [t)o6. l 'k) 



].a démonstration de ces théorèmes et d'autres plus généraux sera déve- 

 loppée dans un Mémoire plus étendu. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur une famille (le réseaux conjugues 

 à une même congruence. Note de M. E. Merlin. 



Considérons, dans l'espace à n dimensions, deux réseaux tels que, aux 

 points correspondants A et B, les tangentes aux courbes correspondantes 

 se coupent en deux points variables P et Q. On peut choisir les coordon- 

 nées homogènes a;, et v, de A et B, de manière que l'on ait (^ ' ) 



- ' Ou au <Jv dv ^ ^ 



Il existe une co' de réseaux conjugués à la congruence des droites A et B 

 et tels que, en un des points C(^,) d'intersection avec AB, le plan tangent 

 à l'un quelconque des réseaux passe par PQ. On a en effet 



;/= r,-f- aj:\, a = constante. 



Nous nous sommes proposé de chercher combien, parmi les réseaux <lo 

 la famille considérée, il peut y en avoir à invariants égaux. Nous ne parh^- 

 rons pas des cas évidents où les droites AB sont concourantes, ou engen- 

 drent une congruence dont les deux nappes focales se réduisent à d^s 

 lignes. 



A. — Le lieu des arêtes de rebroussement des développables u =^ const.. 

 par exemple, se réduit seul à une ligne. Trois cas peuvent seulement se 

 présenter : 



i" Tous les réseaux sont à invariants égaux. — Ils sont formés par des 

 courbes de contact de cônes ou de cylindres circonscrits. 



2" Le réseau (A), par exemple, est seul à invariants égaux. — (A) est 

 formé de courbes de contact de cônes ou de cylindres circonscrits. Sur les 

 autres réseaux, les lignes u = const. sont des courbes de contact de cônes 

 ou de cylindres circonscrits et, le long des lignes t' = const., les plans 

 osculatenrs aux lignes u = const. passent par un point fixe. 



3" Aucun réseau n'est à imariants égaux. 



B. — Aucune nappe focale ne se réduit à une ligne. En général, les fa- 



( ') \ oir G. Darboix, Leçons sur la théorie générale des surfaces, l. II, p. 228. 



