I/JO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



milles considérées ne possèdent pas de réseaux à invariants égaux. Elles 

 peuvent toute fois eji posséder un , deux, trois, quatre ou cinq . S'il en existe cinq, 

 tous les réseaux de la famille sont à invariants égaux. 



Indiquons les résultais que nous avons obtenus quand un ou plusieurs 

 reseaux sont à invariants égaux. 



1° Un réseau (A), par exemple, est à invariants égaux. — On choisit (A); 

 le problème s'achève par quadratures, si l'on connaît /i et /, dont les valeurs 

 les plus générales dépendent de l'intégration de l'équation de Laplace rela- 

 tive à (A). 



2° Deux réseaux au moins, (A) et (B) par exemple, sont à invariants 

 égaux. Posons 



6, désignant une solution quelconque de l'équation 



'^'' ï-dtidv ~ 7^ àndv' 



On aura, pour déterminer y,- à l'aide de (i), 



/i = \J(u).ey- "f, l=V(v).ey- ^ 



■/ et (p sont des fonctions convenablement choisies. On doit distinguer 

 trois cas : 



a. U(«) = H, V(t') = V. — Soit -(u, v) la solution la plus générale de 



l'équation El > — - j = o, dont dépend la détermination des surfaces 



qui admettent pour représentation sphérique de leurs lignes de courbure 

 deux systèmes de coniques homofocales (' ), «p et / seront définies par les 

 formules 



?= àudv ' 



'■ a Ou Ov II <)ii r ()// (){■ r Ov 



Pour achever le problème à l'aide de quadratures, il restera à intégrer 

 J'équation ('?.), où (p a la valeur précédente. 

 /}. U(m) = u, V(i') ^1. — On trouve 



<(3) y = \'>(v) " -h v''('</), y = X>iv) ' + uv'(u) — v(u). 



y 11^ — I ' ' ' \'ii- — I 



( ') Voir (i. Darboix, Leçons sur la t/icorie générale ik's surfaces, t. II, p. 70. 



