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Soil un réseau conducteur quelconque, coiUenanl les sources d'électricilé de force 

 électromotrice El, Ej, ... ( E/^ étant la somme algébrique des forces électromotrices 

 de la branche k, comptées dans un sens déterminé). Soient /',, r^, ... les résistances; 

 i, /j, ... les intensités des branches 1,2, .... 



Il est à démontrer que les courants se répartissent de façon que 



(1) i:(2Ei4-'>^!) 



soit maximum, en tenant compte naturellement des relations ^ir^^o pour chaque 

 point de croisement, conformément à la première loi de Kirchlioll'. 

 Dili'érentions l'expression (1), nous aurons 



(9.) I.(2E, -■?.!■, i,)di,. 



Etablissons les équations qui rendent l'expression (i) maximum, c'est-à-dire (2) 

 nulle. 



Considérons pour cela dans le réseau un circuit fermé quelconque, jiar exemple le 

 quadrilatère ABCD, et sur chacun de ses côtés un sens positif. 



Les quatre relations Z.iri = o pour les points A, B, C, D permettent d'éliminer trois 

 des variables «'«• Eliminons ('2- '31 4 comme suit : de B nous lirons 



'2 = '1 + 4 -4- 4 = ' 1 ± • • • . 

 deC 



h = — ii+ii^— 'i±.--> 

 deD 



h = 4 — «9 = — « I ± 



Les points remplacent des variables /^ pour a > 4- 



Cette élimination faite, tous les autres courants peuvent être considérés comme des 

 variables indépendantes ou des fonctions des /« pour lesquelles a > '|. 

 Donc, dans l'expression 



-(E/,— o,ù) (ii/,, 



les seuls termes contenant, toute élimination faite, la diflërentielle di\ sont les quatre 

 premiers. 



Ces termes sont 



( l'^i — '-1 '1 ) f/'i + ( E, - r, i, ) ( .//, ±...) 



+ (E,- r,i,){- d,\±. . .) + {K,- r..i,) {- di,±. . .). 



Les variables étant alors toutes indépendantes, le coefticient de di\ doit être nul. 

 Nous avons donc 



El— '■l'i-l- E2— /-o/j— (E-i— r-ji,,) — (E4— r.,c\) — o, 



équation idenli(|ue à celle fournie par la deuxième loi de KirchholV, appliquée au 

 quadrilatère ABCD 



