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fonctions sphériques l'identité suivante à la surface de la sphère 



(3) "^-î 



d"-y 



(9v2 



2R (}v 



Atc i 





cos(/-\ 



ds 



/-. cos(rv) , 



en désignant par v la normale intérieure de l'élément ds. 



Ce lemme permet de démontrer un théorème important pour la théorie 

 de l'élasticilé : 



Soit une fonction donnée, définie en tout point d'une surface fermée co 

 possédant en chacun de ses points un plan tangent unique et deux rayons 

 de courbure principaux bien déterminés. Supposons que la fonction 9 soit 

 uniforme et continue sur co de la manière exprimée par la condition (i). 

 Formons le potentiel 



(4) ^=X4 



du volume intérieur en désignant par la solution du problème de Diri- 

 chlet pour l'intérieur de w, qui prend les valeurs limites à la surface u. 

 Alors on aura, en posant 



(5) 



' T. 



l'inégalité suivante pour deux points i et 2 de la surface w dont la dis- 

 tance est désignée par i\^ : 



(6) 1^.-^. 



s^A H max. 



egc; 



jbs.6 



¥- 



[o<^o-(t(i-S)]. 



Dans cette inégalité S représente un nombre aussi petit que l'on veut, 

 c une constante finie, sg étendes constantes finies aussi longtemps que S et c 

 sont différents de zéro, mais convergeant respectivement avec S et t vers 

 zéro. 



On peut se servir de ce théorème pour arriver à une solution générale 

 du problème d'équilibre dans la théorie de l'élasticité. 



