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La sphère S est donc 31; les coordonnées complémentaires Z, et Z^ sont 



(7) Z.=,^X,^A^;,. Z, = 7X,+ ^^,. 



Le point I étant toujours sur la focale, on a aussi 



l/(\) = X; + X^+ X^ + U(,4-^-')_,x. + -^^^±g^Y 



(8) 





+ (V>. - I X, 



en sup|)Osant que 1 soit racine de l'équation 



L'équation (9) admet toujours les racines X = 1 ; elle admet, en général, 

 une autre racine distincte de o ou de i; c'est cette racine qui figure dans 

 l'équation (8); il en résulte que la sphère S décrit un système 4L les coor- 

 données complémentaires T,, T^, T, ayant les valeurs suivantes : 



\ T:, — \/a — I X 3 . 



2. Cercles conjugués. — Soit 9 une solution quelconque de l'équation de 



Laplace à laquelle satisfont les fonctions X et Y. Le point de l'espace à 



Y 

 cinq dimensions, qui a pour coordonnées -t^j décrit un réseau ; il y corres- 

 pond un système de cercles (C) conjugué aux sphères (S). Le cercle C 

 passe par les points F, I', oîi la sphère S louche son eiivelop|)e: si, de [)lus, 

 es! une fonction linéaire de X,, X^, X.,, l'axe du cercle C est la droite du 

 plnn tangent en M' qui correspond, par roulement de Q sur Q', à la dmile 

 d'intersection du plan tangent en M avec le plan dont l'équation est = o. 

 Nous allons donner des exemples : 



Y 



i" O^Z.-i-f'Zj. — Le système de cordes C est 0; il est en général 31, le rése^iu — - 



de l'espace à cinq dimensions étant applicable svir le réseau — de l'espace à trois; il 

 pourra se produire une réduction si est une combinaison homogène de X, et de X^, 



