SÉANCE DU 29 JANVIER lgo6. 263 



cest-à-dire si 



— I, + i '— i, = o. 



p n 



Le point I est alors un ombilic; l'équation (9) admet la racine X = 0; le système S 

 ne peut plus ètie considéré comme un système 41; le système de cercles C est O, 2I; 

 les pôles d'un tel cercle décrivent des surfaces isothermiques; on voit facilement que 

 ces pôles correspondent aux points d'intersection du plan tangent en M avec les géné- 

 ratrices menées en I sur la qiiadrique (Daiibolx, Comptes rendus, 1S99). 



2° 0=:X,-|- fX,. — Le système C est I, il est en général 30, les coordonnées com- 

 plémentaires élanl — ) -^- Il se produira une réduction si 6 est une combinaison homo- 

 gène de c, et ;.,, c'est-à-dire si 



^ + p- , .i+i/-. 



Le point S est le point de contact d'une tangente isotrope à la focale. L'équation (9) 

 admet la racine double X =: i; le système G est I, 2O. 



3° Nous allons montrer qu'on peut former une combinaison isotrope de T,, T,, T3 

 qui est en même temps une combinaison isotrope de X,, X2, Xj. Posons en efl'el : 



e = ïT, + ? T., 4- yTj. X- H- V -V ■;'- — o. 

 Pour que 6 soit homogène par rapport à X,, X,, X3 il faut (nendre 



„_ (■ + v-);2 „_ (n-/'-);i 



P^ 



on aura ensuite 



X(. 





On aura alors 



= ï ^Xi^i^pi-)— ,X, 4- 3 v/X(n-<7'-) — iXo 4- Y v^^. - I X3. 

 Pour que soit une combinaison isotrope de X,, X,, X3, il faut que 

 a"-[X(i-^/.')-,] + p-^[X(, + r/)-,]4-Y=(X-i) = o 

 et, en remplaçant «'-, fi-, y" par leurs valeurs, on trouve, après réductions, la condition 



X(,+/yO-.''^X(H-y^)-,^^ 



qui est une conséquence immédiate des équations (5) et (9). 



étant une combinaison isotrope des X, le système C est I; de même Ô 



