266 . ACADÉMIE DES SCIENCES. 



supérieur, par F. Roby, avec une notice stratigraphique par Paul Choffat. 

 (Présenté par M. Albert Gaudry.) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du second ordre 

 dont l'intégrale générale est uniforme. Note de M. Gambier, présentée 

 par M. Painlevé. 



Je me suis proposé d'étudier les équations différentielles du second ordre 



V(y',y',Y,x) = o 



oîi P est un polynôme du second degré en y", rationnel en y', algébrique 

 en y et analytique en x, dont l'intégrale générale est ou fonction uniforme 

 de X ou fonction à points critiques fixes. 



J'applique pour cela une méthode développée par M. Painlevé pour les 

 équations du premier degré en y" . 



On sait, d'après les résultats obtenus par M. Painlevé, que l'équation, 

 résolue en y", est nécessairement de la forme 



y"= A,y^ + A.y'-i- A3+ v/A^y"'+ Aj/M- A„/-+ A7/+ A, 



où les A sont algébriques en y et analytiques en x, et qu'une transforma- 

 tion élémentaire permet de supposer, pour x quelconque, les A rationnels 



en y ou bien rationnels en y et \ly{y — OLJ" ^(^'jj' ^^ qu'enfin, si 

 y' ^ (p(j',a7) est racine impaire du polynôme en j'' sous le radical, l'équa- 

 tion différentielle jk' — <p(k, a;) = o définit un ensemble particulier d'inté- 

 grales de l'équation proposée. 



Ces premières conditions acquises, poursuivons l'étude des conditions 

 nécessaires en faisant la substitution de M. Painlevé : a; ^ a?, + a K et an- 

 nulant a, d'où l'équation 



y" = y [a, (x„ y) + \/k,(x„y)] 

 dont l'intégrale générale doit être uniforme; si nous posons alors 



z = A,{x,y)-hs/-'^A{^^.y), 



z et j' sont liés par une relation algébrique et l'on est nécessairement dans 

 l'un des trois cas suivants : 



1° Ou bien les deux valeurs de c sont rationnelles enj'; 



2" Ou bien la relation entre y et z est unicursale; 



3° Ou bien cette relation est de genre i. 



Bornons-nous, dans ce qui suit, au cas où P est rationnel en y. 



