SÉANCE DU 29 JANVIER 1906. 267 



Quand les deux valeurs de z sont rationnelles en y, on peut su[)poser, 



erace a une transformation y = \ ' . j-^ eliectuee sur 1 équation pri- 



mitive, que l'une d'elles coïncide avec une des huit expressions inliquées 

 par M. Painlevé à la page 3o du Tome XXV des Acta nialheinatica (Mé- 

 moire Sur les équations différenlielles dont l'intégrale générale est uniforme) 

 et l'autre avec une des neuf expressions indiquées à la page 29 du même 

 Mémoire; en tout soixante-douze cas à examiner. 



Si la relation entre j et ^ est unicursale, on peut, après une transforma- 

 tion analogue sur y, supposer que l'on a exprimé j et = au moyen d'un 

 paramètre 6 par les formules 



j = 6-, 202:; + i + 0/(0) = o, 



où /(O) coïncide avec l'une quelconque des huit dernières expressions 

 indiquées à la page 29 du même Mémoire (où j a été remplacé par 6); 

 d'où huit cas à examiner. 



Si la relation entre j- et z est de genre i, on peut, moyennant une trans- 

 formation algébrique, supposer que cette relation est 



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.4/^ - g,y - g^ oV4 j^ - g^.y - g^^ 

 {g.,y g:t constantes numériques, 2(o période quelconque depÇu, g^, g,). 



Ces conditions sufiisent pour donner un nombre limité de valeurs 

 possibles pour A, et Aj. D'ailleurs on démontre aisément que tout pôle 

 de A, et A3 est simple et pôle de A,, que tout pôle de A.i, A5, A^, Aj, Ag est 

 double au plus et pôle de A,. Ces résultats s'étendent au point/ = 00 par 



la transformation y= y et appliquant au pôle Y = o s'il y a lieu. Cela 



limite le degré des A en y. 



Le cas le plus simple est donc celui où les deux valeurs de ^ se réduisent 

 à zéro : A,^o, A.^o. Dans ce cas, on trouve immédiatement que les A 

 sont des polynômes en r, de degré en y égal respectivement à 



Ao A3 A5 Afi A, Ag 

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J'étudie complètement dans cette Note le cas où A,^o, A^^o e/ où, de 

 plus, le polynôme en y' sous le radical n'a qu'une racine triple. 

 L'équation est nécessairement de la forme 



y" = y(ay -f- Z-) + (Ay' ■+- 2 \^y -f- C) [(2A — «)y 4- al3 - />| 



■+- A'j* + 2 B' 7 + C -i- g{x) {y' - Ay' - 2 Bj — C)% 



