208 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ a, b, A, B, C sont des fondions analytiques de x. A', B , C sont les 

 dérivées de A, B, C par rapport à x. 



Une telle équation peut se ramener par une substitution 



y = \{x)Y^lJ.{x), X = ç(a7). 



Si A ^o, à la forme 



Y"=Y'(a,Y+è,)-t-Y'^ 



>., ^., (p s'obtenant par trois quadratures. 

 Si A ^ o, à la forme 



Y"=Y'(a,Y + i,) + (2--«.)Y^-^.Y^-+-5-.(X)(Y'-Y^/, 



[A s'obtenant par une équation de Riccati, \ ot cp par deux quadratures. 



lia transformation algébrique Y'= Y-u- ou Y' — Y- = Y-u-, suivant que 

 l'on est dans le premier cas ou dans le second, conduit à une équation en u 

 du second ordre, du premier degré en u" et rationnelle en u' et u; en se 

 reportant aux résultais de M. Painlevé, on reconnaît que l'équation en Y 

 coïncide nécessairement avec l'un des types suivants, dont l'intégrale est 

 d'ailleurs uniforme : fraction rationnelle en X ou en e'"^ ou fonction ellip- 

 tique de X, 



Y"=Y'"-, 



Y"=6YY'— 4Y^ + A(Y'- Y-f , /* constante, 



^' (Y'— Y^f, /2 entier >i, 



2/(Y'-Y^)i 

 Y"= - 4 YY' + 6Y' + 4^( Y' - Y-)^ 



Y"== - 8YY'+ ioY' + î:v/2(Y'— Y=)^ 



Y" = — 2YY'+4Y»+ ^(Y'- Y-f, 



s/S 



Y" = 2 Y' - 44: ( Y' - Y= Y . 



On sait reconnaître à l'avance sur l'équation donnée, au moyen de rela- 

 tions algébriques entre les coefficients, si la réduction à l'une de ces formes 

 est possible et alors \, [j., çp s'obtiennent : 



Dans le premier cas par trois quadratures; 



Dans le second, \i- par une équation de Riccati irréductible et 7^ et <p par 

 deux quadratures; 



