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2. I/iaégniité bien connue de M. Schwarzfait facilement voir qu'il existe 

 une limite finie supérieure et une limite finie inférieure des valeurs que 

 peut prendre l'intégrale T(«) ('). 



Désignons pai'yTi] une de ces limites. 



Choisissons une série infinie de fonctions continues ii,(s), u..(s), 

 ii.j(s), . . . vérifiant l'égalité (i) et telles que 



;'ml("«) = yjr> 



(nous supposons ici que a" soit finie). 



Li;>niF. — Sup|)osoiis que n,(5), ir2(.ç), ... soit une série de foDClions conliiuies 

 (jiii véiillent les conditions 



1 I u„{s)ir„{ 



i r" 



[ / '^'// (•'*)" f'^''' <i î^ 0^1 1^ est une constante positive. 



,{s)ds = o (« = ,.2,3,...), 



(2) 



Alors nous avons 



,'• ./. 

 (3) lini / / \\(s, t) i/„{.i)i\„[t)clsdl = o. 



Posons 



w„{.l) — i- „(.■<) — Il „is) j ii„(t)i;,{l)dl, 



lin portant celte expression de n',, (à) dans (3), nous trouvons facilement 



(4) 



l\m 1 .■„{<) / „„(s)K{s, t)ds—j^^iijt) 



dt = o. 



r'' 



Considérons l'intégrale / i<„(^)K(^,/)f/5.D'après l'inégalité deM.Schwarz 



elle reste comprise entre deux valeurs réelles indépendantes de n et de /. 

 Alors nous pouvons supposer que les fonctions u,(s), ti.j{s), . . . sont telles 

 que cette intégrale a une limite déterminée pour chaque valeur rationnelle 



(') Nous supposons ici que K(.s-, t) [et ii(s)] sont des fonctions continues; mais la 

 méthode reste applicable si I\.(.ç, t) admet des singularités sous certaines conditions 

 qui impliquent les singularités traitées par M. Hilberl. 



