SÉANCE DU 5 FÉVRIER 1906. 333 



(le t. Car d'après le beau procédé publié par M. Hilbert dans \e Fesisc/vi/l, 

 nous pouvons, parmi les fonctions de celte série, choisir une série partielle 

 qui jouit de cette propriété. 



L'expression '];"'(/)= A'''linî / u,^(s) \s.(s,f)ds représente alors une fonc- 



tion uniforme pour les valeurs rationnelles de /. L'inégalité facilement 

 obtenue 



1 0'"(/) - ■y"(0]-^< a"^ f "i i^(*. i') - 1^(^. OJ-'^^^ 



fait ensuite voir que <];'''(/) est uniforme et continue pour toutes les valeurs 

 de t. 



Posons maintenant, dans la formule (4 ). t'„(0 = ^C-^' 0- 



Nous trouvons l'équation 



(5) ^'^s) = >.'•' \' Iv(^, ;) -iCC/) di. 



*- a 



Puis posons clans (4) *'«(^)= / ihii^) K(^» l^ds. Nous trouvons alors 



(G) r"j.("(/)^/,v = i; 



à l'aide des équations (5) et (6) nous déduisons enfin T(A''') = r-j^ > ce qui 



fait voir que '|'"'(^) est une solution de la question proposée. C'est une des 

 fonctions fondamentales {Eigcnf une lion) de M. Hilbert. 



Pous démontrer l'existence des autres fonctions fondamentales et éven- 

 tuellement des autres solutions du problème, on modifie le problème de la 

 manière indiquée dans le travail de M. Hilbert et, en appliquant notre mé- 

 thode, on arrive à prouver l'existence d'un système complet de ces fonctions. 

 Puis on démontre facilement le résultat sur le développement de l'inté- 



grale / / K( s, t ) u(s) u {/) ds dt servant de base à la théorie générale de 



M. Hilbert. 



