SÉAJSCE DU 26 FÉVRIER 1906. 499 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'indélerminaiion d'une fonction d'une 

 variable au voisinage d'une singularité Ira 

 BouTROux, présentée par M. H. Poincaré 



variable au voisinage d'une singularité transcendante. Note de M. Pierre 



On sait qu'au voisinage d'un point singulier transcendant, une fonction 

 j de .r peut, soit rester déterminée, soit être complètement indéterminée, 

 soit être incomplètement indéterminée, c'est-à-dire tendre vers l'ensemble 

 des valeurs contenues dans certaines régions du plan des y. 



Considérons une fonction ^(.c), algébroïdeà l'intérieur d'un certain con- 

 tour convexe C, et soit ît, un pouit singulier de la fonction (isolé ou non) 

 situé sur le contour C. Pouvons-nous dire quelle indétermination la fonction 

 sera susceptible de présenter lorsque x tendra vers x^ sur un chemin 

 quelconque intérieure à C? 



1° Soit la fonction j(j:-) uniforme ('méromorphe) à l'intérieur de C. Si 

 yioc) devient indéterminée lorsque x tend vers x^ sur un chemin intérieur à C, 

 cette fonction prend, au voisinage de x^, toutes les valeurs possibles, sauf deux 

 au plus. 



En effet, on peut montrer qu'il existe au moins un segment de droite intérieur à C, 

 et aboutissant en x^ sur lequel y devient indéterminée. Supposons que, sur ce segment, 

 y{x) ne prenne pas la valeur co, mais prenne des valeurs arbitrairement grandes. 

 Puisque k(j?) y est indéterminée, on peut trouver, sur le segment considéré, des points 

 X, arbitrairement voisins de x^^ jouissant des propriétés suivantes : au points-, y prend 

 une valeur a telle que |«| < A, h restant fixe lorsque x tend vers a-j ; d'autre part, sur 

 le segment .r.r,, ou sur une fraction finie de ce segment (par exemple les f), y{x) prend 

 des valeurs arbitrairement grandes. 



Soient alors o et i deux nombres quelconques, .le dis qu'au voisinage de ,r,, y{x) 

 devient nécessairement égale soit à o, soit à i. En effet, après avoir fait au besoin un 

 changement de variable, nous pouvons supposer que le contour C tourne sa convexité 

 du côté où la fonction y est définie. Considérons alors un cercle -( a^ant pour centre 

 un point x et passant par .r, : r(j;) est holomorphe dans ce cercle, et il en résulte (') 

 que, si / ne prenait pas dans y les valeurs o et i , son module resterait (dans un cercle 

 concentrique à y et de ravon égal à | xx{) inférieur à une fonction finie de a, ce qui 

 n'a pas lieu. 



On observera que, étant donné que nous ne considérons la fonction y(a;) 



(') J'ai énoncé dans les Comptes rendus (3i juillet igoS) cette proposition, qui 

 avait été obtenue par M. Scholtky sous une forme un peu différente. 



