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qu'à l'intérieur d'un contour, unpoint singulier essentiel ne sera pas néces- 

 sairement, à notre point de vue, point d'indétermination. 



2° Soit maintenant j'(îf) algébroïde à l'intérieur du contour convexe c, 

 mais non sur ce contour lui-même. Etudions y à l'intérieur d'un contour c 

 intérieur à C, et faisons tendre c vers C. Dans ces conditions, ou bien le 

 nom.bre des déterminations dey (a;) reste inférieur à un nombre fixe; ou 

 bien ce nombre augmente indéfiniment. 



Le [iremier cas se ramène au cas de l'uniformité. Dans le second cas, 

 les branches de j(a-) convergent vers une ou plusieurs fonctions- 

 limitesY (') qui ne peuvent admettre pour singidarités que les points- 

 limites des singularités dej'(a;). D'ailleurs, si un ensemble de branches 

 de y converge vers une fonction Y le long d'un arc /, ces courbes ne cesse- 

 ront pas de converger vers Y lorsqu'on prolongera l'arc /, pourvu que l'on 

 ne rencontre aucun point-limite des singularités dey. On en conclut que 

 la fonction y (a?) ne saurait tendre vers les points d'une région du plan 

 des y, lorsque ic tend vers le contour C, qu'au cas où l'ensemble des fonc- 

 tions-limites Y (a;) tend vers les points de la même région. Ceci nous 

 conduit aux énoncés suivants : 



Premier cas : Supposons que les fondions limites de la fonction multiforme /(.r ) 

 aient un nombre fini/> de branches à l'intérieur du contour C;j'(.c) «e ia(/ra;7 rfece/nV 

 indéterminée lorsque l'on tend vers un point du contour C à moins de devenir com- 

 plètement indéterminée. 



Si les fonctions limites ont un nombre infini de branches, mais admettent elles- 

 mêmes des fonctions limites qui n'ont qu'un nombre fini de branches, on a encore la 

 même proposition ; et ainsi de suite. 



Deuxième cas : Supposons que les fonctions limites de la fonction multiforme définie 

 à l'intérieur du contour C, et, par suite, cette fonction elle-même, soient complète- 

 ment indéterminées en un point .r^ intérieur à C ; en ce cas, la fonction y est com- 

 plètement indéterminée en tout point intérieur à G. 



Troisième cas : Supposons que les fonctions limites àe y{x) présentent, en un point ,ro 

 intérieur à C, une indétermination incomplète : en ce cas, la fonction y présentera 

 une indétermination incomplète en tout point intérieur à C. 



De l'examen de ces trois cas résulte la proposition suivante : 

 Soit une fonction multiforme définie à l'intérieur d'un contour C, où elle est 

 algébioide, et soit Xg un point intérieur à C. Si la fonction ne présente aucune 



C) Jai iiidiciué <|U(eJques résultats relatifs à ces fonctions dans un Mémuire pujjlié 

 dans les Annales scientifiques de Nicole normale supérieure (octobre 1905 ). 



